Integrale di volume complicato
innanzitutto visto che sono nuovo faccio un saluto a tutti quanti 
detto questo:
questa è una vera sfida, ci ho riflettuto un'pò, ho qualche idea di come fare ma non so se poi sarà possibile integrare
immaginate una gaussiana a simmetria assiale (una gaussiana ruotata di 180° attorno a un'asse passante per il suo massimo in modo da ottenere una figura solida a base circolare e con il profilo verticale di una gaussiana, si pone un limite alla gaussiana che in realtà avrebbe estensione infinita, mettiamo che il limite sia il valore per il quale il 99.9% della superficie sottostante la curva gaussiana sia al suo interno, questo limite identifica quindi il raggio della base circolare della gaussiana assiale)
i parametri della gaussiana vanno scelti in modo che il volume al suo interno sia normalizzato a 1 (la sigma invece si può lasciare come costante)
adesso prendete un cerchio di raggio definito R e centro in una zona periferica della gaussiana (o anche esterno alla gaussiana) ma tale che l'arco di cerchio che si interseca con il cerchio definito dalla base della gaussiana non oltrepassi il centro di suddetto cerchio
il raggio del cerchio non deve essere necessariamente uguale a quello della base della gaussiana
come si può immaginare cerchio e area di base della gaussiana generano una superficie di intersezione (la classica intersezione tra cerchi) ecco...
quello che vorrei calcolare è:
il volume sottostante la superficie di questa intersezione...
ecco la mia idea:
integrare a fette una volta definiti i limiti di integrazione dovrebbe essere facile...
detto così pare semplice (ma anche no...) però non è detto che poi gli integrali ottenuti siano facili o possibili da integrare...
un grazie anticipato a chiunque contribuisca
PS. per ulteriore chiarezza ecco cosa cerco:
immaginate che la campana sia fatta di burro, e che il cechio sia un cerchio di fil di metallo
immagina di prendere il cerchio di fil di metallo e posizionarlo sopra la campana ma spostato in modo che visti dall'alto verso il basso tu vedi due cerchi con le caratteristiche descritte sopra
poi immagina di far traslare verticalmente il cerchio di fil di ferro, ma sempre in modo che rimanga parallelo al suolo, facendogli trapassare la campana in modo da tagliarne un pezzetto
ecco io vorrei calcolare il volume di quel pezzetto
detto questo:
questa è una vera sfida, ci ho riflettuto un'pò, ho qualche idea di come fare ma non so se poi sarà possibile integrare
immaginate una gaussiana a simmetria assiale (una gaussiana ruotata di 180° attorno a un'asse passante per il suo massimo in modo da ottenere una figura solida a base circolare e con il profilo verticale di una gaussiana, si pone un limite alla gaussiana che in realtà avrebbe estensione infinita, mettiamo che il limite sia il valore per il quale il 99.9% della superficie sottostante la curva gaussiana sia al suo interno, questo limite identifica quindi il raggio della base circolare della gaussiana assiale)
i parametri della gaussiana vanno scelti in modo che il volume al suo interno sia normalizzato a 1 (la sigma invece si può lasciare come costante)
adesso prendete un cerchio di raggio definito R e centro in una zona periferica della gaussiana (o anche esterno alla gaussiana) ma tale che l'arco di cerchio che si interseca con il cerchio definito dalla base della gaussiana non oltrepassi il centro di suddetto cerchio
il raggio del cerchio non deve essere necessariamente uguale a quello della base della gaussiana
come si può immaginare cerchio e area di base della gaussiana generano una superficie di intersezione (la classica intersezione tra cerchi) ecco...
quello che vorrei calcolare è:
il volume sottostante la superficie di questa intersezione...
ecco la mia idea:
integrare a fette una volta definiti i limiti di integrazione dovrebbe essere facile...
detto così pare semplice (ma anche no...) però non è detto che poi gli integrali ottenuti siano facili o possibili da integrare...
un grazie anticipato a chiunque contribuisca
PS. per ulteriore chiarezza ecco cosa cerco:
immaginate che la campana sia fatta di burro, e che il cechio sia un cerchio di fil di metallo
immagina di prendere il cerchio di fil di metallo e posizionarlo sopra la campana ma spostato in modo che visti dall'alto verso il basso tu vedi due cerchi con le caratteristiche descritte sopra
poi immagina di far traslare verticalmente il cerchio di fil di ferro, ma sempre in modo che rimanga parallelo al suolo, facendogli trapassare la campana in modo da tagliarne un pezzetto
ecco io vorrei calcolare il volume di quel pezzetto
Risposte
Prova a postare nella sezione Fisica,magari qualcuno ti risponderà.
"Aeneas":
Prova a postare nella sezione Fisica,magari qualcuno ti risponderà.
trattasi di un problema matematico xò... (anche se in realtà mi serve per un modello fisico che ho ideato)
in ogni caso ho già analizzato la cosa e ho visto che entrambe le integrazioni possibili, a fette o a strati, portano a integrali insolubili analiticamente (nel caso dell'integrazione a fette, la più semplice in questo caso, viene fuori un'integrazione di una gaussiana tra due estremi x1 e x2, che è impossibile analiticamente, nel caso dell'integrazione a strati viene fuori un'integrale che farebbe sbiancare dalla paura persino Gauss
)
"rigelpd":
[quote="Aeneas"]Prova a postare nella sezione Fisica,magari qualcuno ti risponderà.
trattasi di un problema matematico xò... (anche se in realtà mi serve per un modello fisico che ho ideato)
in ogni caso ho già analizzato la cosa e ho visto che entrambe le integrazioni possibili, a fette o a strati, portano a integrali insolubili analiticamente (nel caso dell'integrazione a fette, la più semplice in questo caso, viene fuori un'integrazione di una gaussiana tra due estremi x1 e x2......[/quote]
l'integrale della gaussiana è una funzione ormai standard, che come il seno, il coseno, il logaritmo ecc.. ed è ottenibile con il grado di precisione necessario.
Se riconduci tutto a una integrazione di gaussiana il problema è quindi finito. Infatti nel caso in cui riuscissi a integrare il volume in forma 'analitica' con una altro metodo (o con altre coordinate) vorrebbe dire che la primitiva della gaussiana è riconducibile a combinazione di funzioni elementari ...
ciao
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