Integrale di volume
Salve, ho da calcolare questo integrale di volume, che è stupido ma non riesco e ricordarmi come si fa:
Trovare il volume di
[tex]A=\{(x,y): z \leq 4-x^2-y^2, z \geq 0\}[/tex]
Io farei così:
[tex]\int{\int{\int{(4-x^2-y^2)dx dy dz}[/tex]
ma non riesco a determinare gli estremi di integrazione...
Grazie mille
Trovare il volume di
[tex]A=\{(x,y): z \leq 4-x^2-y^2, z \geq 0\}[/tex]
Io farei così:
[tex]\int{\int{\int{(4-x^2-y^2)dx dy dz}[/tex]
ma non riesco a determinare gli estremi di integrazione...
Grazie mille
Risposte
Gli integrali di volume credo siano un'altra cosa.
Comunque io farei un integrale doppio:
$ \int \int (4-x^2-y^2) dxdy $
Passando a coordinate polari è facilissimo.
Comunque io farei un integrale doppio:
$ \int \int (4-x^2-y^2) dxdy $
Passando a coordinate polari è facilissimo.
Ok, questo mi convince... In realtà peró il mio problema è leggermente diverso: allora ho questo campo vettoriale
[tex]F= (z\ arctan y^3, z^2\ log (x^2+1), z)[/tex]
e voglio calcolare il flusso attraverso questa superficie
[tex]A=\{(x,y): z \leq 4-x^2-y^2, z \geq 0\}[/tex]
Evidentemente questa cosa si fa con il teorema della divergenza, che appunto è
[tex]div F=1[/tex] e dunque la devo integrare nel mio volume
[tex]\phi(F)=\int{1\ dV}[/tex] e a questo punto non capisco più come applicare la definizione...
Grazie mille dell'aiuto!
[tex]F= (z\ arctan y^3, z^2\ log (x^2+1), z)[/tex]
e voglio calcolare il flusso attraverso questa superficie
[tex]A=\{(x,y): z \leq 4-x^2-y^2, z \geq 0\}[/tex]
Evidentemente questa cosa si fa con il teorema della divergenza, che appunto è
[tex]div F=1[/tex] e dunque la devo integrare nel mio volume
[tex]\phi(F)=\int{1\ dV}[/tex] e a questo punto non capisco più come applicare la definizione...
Grazie mille dell'aiuto!
Non saprei dirti, quell'insieme A non mi convince moltissimo.
Comunque, se ho capito bene l'esercizio, io calcolerei l'integrale triplo $ \int \int \int_A dxdydz $ su quel dominio.
Passando a coordinate cilindriche dovrebbe venirti abbastanza semplice.
($ 0 <= \rho <= 2, 0 <= \theta <= 2\pi, 0 <= z <= 4-\rho^2 $)
Comunque, se ho capito bene l'esercizio, io calcolerei l'integrale triplo $ \int \int \int_A dxdydz $ su quel dominio.
Passando a coordinate cilindriche dovrebbe venirti abbastanza semplice.
($ 0 <= \rho <= 2, 0 <= \theta <= 2\pi, 0 <= z <= 4-\rho^2 $)
scusate se intervengo anche io nella discussione. ho una domanda da fare.
poi che dominio prendi per fare l'integrale doppio?
mentre per quano riguarda l'integrale triplo risolvendo per strati (e faendo il cambiamento di variabile in cordinate cilindriche) può essere giusto scrivere D come $D={0<=theta<=2pi ^^ 0<=rho<=sqrt(4-z) ^^ 0<=z<=4$ ? si può fare così? grazie
"abral":
Gli integrali di volume credo siano un'altra cosa.
Comunque io farei un integrale doppio:
$ \int \int (4-x^2-y^2) dxdy $
Passando a coordinate polari è facilissimo.
poi che dominio prendi per fare l'integrale doppio?
mentre per quano riguarda l'integrale triplo risolvendo per strati (e faendo il cambiamento di variabile in cordinate cilindriche) può essere giusto scrivere D come $D={0<=theta<=2pi ^^ 0<=rho<=sqrt(4-z) ^^ 0<=z<=4$ ? si può fare così? grazie
"matematico91":
scusate se intervengo anche io nella discussione. ho una domanda da fare.
poi che dominio prendi per fare l'integrale doppio?
mentre per quano riguarda l'integrale triplo risolvendo per strati (e faendo il cambiamento di variabile in cordinate cilindriche) può essere giusto scrivere D come $D={0<=theta<=2pi ^^ 0<=rho<=sqrt(4-z) ^^ 0<=z<=4$ ? si può fare così? grazie
All'inizio aveva detto che doveva calcolare il volume di quella figura, quindi con l'integrale doppio potevi farlo tranquillamente con $ 0<=\theta<=2\pi, 0<=\rho<=2 $.
è vero, ora che me lo fai notare si può fare anche così. mentre la mia proposta per farlo come un integrale triplo per strati?è giusta ?
sono interessato anche io alla proposta di matematico91. si può fare così?
Credo vada bene lo stesso, non vedo molte differenze tra la mia parametrizzazione e la sua:
$0≤\theta≤2\pi ∧ 0≤\rho≤2 ∧ 0≤z≤4-\rho^2$
$0≤\theta≤2\pi ∧ 0≤\rho≤4-z ∧ 0≤z≤4 $
$0≤\theta≤2\pi ∧ 0≤\rho≤2 ∧ 0≤z≤4-\rho^2$
$0≤\theta≤2\pi ∧ 0≤\rho≤4-z ∧ 0≤z≤4 $
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