Integrale di una serie
salve a tutti , non riesco a risolvere il seguente esercizio, qualcuno potrebbe spiegarmi come fare?
$ int_(5)^(9) (sum_(n = 1)^(oo ) (n+1)/8^n (x-5)^n) dx $
$ int_(5)^(9) (sum_(n = 1)^(oo ) (n+1)/8^n (x-5)^n) dx $
Risposte
Ciao francesco2b,
Benvenuto sul forum!
Si tratta di una serie di potenze: potresti provare a scambiare l'integrale con la sommatoria.
Benvenuto sul forum!
Si tratta di una serie di potenze: potresti provare a scambiare l'integrale con la sommatoria.
Grazie!
avevo pensato anche io di affrontare il problema in questo modo:
cioò che ottengo è
$ sum_(n=1)^(oo) ((n+1)/8^n)int_(5)^(9) (x-5)^n dx = 4 sum_(n = 1)^oo (4/8)^n $
dato che è una serie geometrica:
$ 4(1/(1-1/2)-1) = 4 $
ho pensato di sottrarre 1 all'interno della parentesi perché la sommatoria parte da n=1... Io so che il risultato dovrebbe essere 8 , è quindi sbagliato sottrarre 1 ? perche?
grazie in anticipo.
avevo pensato anche io di affrontare il problema in questo modo:
cioò che ottengo è
$ sum_(n=1)^(oo) ((n+1)/8^n)int_(5)^(9) (x-5)^n dx = 4 sum_(n = 1)^oo (4/8)^n $
dato che è una serie geometrica:
$ 4(1/(1-1/2)-1) = 4 $
ho pensato di sottrarre 1 all'interno della parentesi perché la sommatoria parte da n=1... Io so che il risultato dovrebbe essere 8 , è quindi sbagliato sottrarre 1 ? perche?
grazie in anticipo.
"francesco2b":
ho pensato di sottrarre 1 all'interno della parentesi perché la sommatoria parte da n=1...
Boh, a me sembra corretto:
$sum_(n = 1)^{+\infty} (4/8)^n = sum_(n = 0)^{+\infty} (4/8)^n - 1 = 1$
"francesco2b":
Io so che il risultato dovrebbe essere 8
Sicuro? E soprattutto: sicuro che $n$ parte da $1$ e non da $0$? Perché se partisse da $0$ il risultato in effetti sarebbe $8$...
Ciao, scusami per l'orario:
il testo del mio esercizio recita:
Sia $ f(x) = sum_(k= 1) ^(oo) ak(x-5)^k $
allora..
Se $ ak=(k+1)/8^k $ abbiamo che $ int_(5)^(9) f(x) dx =8 $ --> V o F?
quindi secondo te il mio ragionamento è corretto?
quando scambio serie e integrale la serie "riparte" sempre da k=1 giusto?
Grazie in anticipo
il testo del mio esercizio recita:
Sia $ f(x) = sum_(k= 1) ^(oo) ak(x-5)^k $
allora..
Se $ ak=(k+1)/8^k $ abbiamo che $ int_(5)^(9) f(x) dx =8 $ --> V o F?
quindi secondo te il mio ragionamento è corretto?
quando scambio serie e integrale la serie "riparte" sempre da k=1 giusto?
Grazie in anticipo
Falso,
$ int_(5)^(9) f(x) dx = 4 \ne 8 $
Sì, è corretto.
Certamente, per quale motivo dovrebbe "ripartire" da un valore diverso?
Credo che uno degli scopi dell'esercizio sia proprio quello di verificare se ti ricordi che la serie geometrica parte da $k = 0 $ e quali correzioni devi apportare nei casi come quello dell'esercizio proposto in cui invece $k$ parte da $1$...
$ int_(5)^(9) f(x) dx = 4 \ne 8 $
"francesco2b":
quindi secondo te il mio ragionamento è corretto?
Sì, è corretto.
"francesco2b":
quando scambio serie e integrale la serie "riparte" sempre da k=1 giusto?
Certamente, per quale motivo dovrebbe "ripartire" da un valore diverso?
Credo che uno degli scopi dell'esercizio sia proprio quello di verificare se ti ricordi che la serie geometrica parte da $k = 0 $ e quali correzioni devi apportare nei casi come quello dell'esercizio proposto in cui invece $k$ parte da $1$...
Grazie mille per il chiarimento ,stavo impazzendo...Grande forum!!
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