Integrale di una serie

[denny101]

Calcolare:
$ sum_(n = 0)^oo int_(0)^(Pi/4 ) (-1)^n*x^(2n)*arctan(x) dx $
come si fà a svolegre questo esercizio?

[Quinzio]

"denny10":Calcolare:
$ sum_(n = 0)^oo int_(0)^(Pi/4 ) (-1)^n*x^(2n)*arctan(x) dx $
come si fà a svolegre questo esercizio?

Devi prima invertire la sommatoria con l'integrale:

$ int_(0)^(Pi/4 ) sum_(n = 0)^oo (-1)^n*x^(2n)*arctan(x) dx $

poi magari riscrivere alcuni termini in modo più chiaro

$ int_(0)^(Pi/4 ) sum_(n = 0)^oo (-x^2)^n arctan(x) dx $.

La serie quindi è una serie geometrica di facile soluzione

$ int_(0)^(Pi/4 ) (arctan(x))/(1+x^2) dx $

Si risolve l'integrale...

[gugo82]

Occhio, però: devi saper dimostrare che è lecito scambiare integrale e sommatoria... Questo è il passaggio fondamentale.

[Quinzio]

Giustissima osservazione, su cui io ho "glissato".
In modo spiccio si può dire che anche l'integrale è, dopotutto, una sommatoria, e quindi come tutte le somme gode della proprietà associativa e quindi, ad es. $(a+b)+(c+d)=(a+c)+(b+d)$ che equivale a scambiare l'ordine della somma.
In modo più formale si ricorre al fatto che l'integrale è il limite della sommatoria.
Mi sembra comunque un'operazione abbastanza innocua, a differenza ad es. dell'inversione derivata integrale (passaggio della derivata sotto al segno di integrale).