Integrale di una funzione su un solido di rotazione
Facendo esercizi mi sono trovato davanti quello seguente:
" L'insieme \(\ \mathrm{A :=\{ (y,z) | y \geq0, 0\leq z\leq2-y \} }\) ruotando attorno all'asse \(\mathrm{z}\) in \(\mathbb{R^3}\) descrive un volume \(\mathrm{C}\) in \(\mathbb{R^3}\).
Calcolare \(\iiint_{C} y^2 dxdydz \). "
Io so che per calcolare il volume di un solido di rotazione bisogna parametrizzare la superficie con \(\theta \epsilon [0,2\pi)\) e la variabile dell'asse attorno il quale la superficie ruota, calcolarne lo Jacobiano e, a quel punto, calcolare
\(\int_{a}^{b}\) \(\int_{0}^{2\pi}\ JD\phi(\theta,z) dzd\theta\)
dove \(\mathrm{a}\) e \(\mathrm{b}\) sono gli estremi della variabile dell'asse attorno al quale ruota la figura e
\(\mathrm{J}D\phi(\theta,z)\) è lo Jacobiano in questione (formula dell'area).
Ma nel caso abbia anche una funzione come argomento dell'integrale e debba integrare sul solido di rotazione, come devo fare?
" L'insieme \(\ \mathrm{A :=\{ (y,z) | y \geq0, 0\leq z\leq2-y \} }\) ruotando attorno all'asse \(\mathrm{z}\) in \(\mathbb{R^3}\) descrive un volume \(\mathrm{C}\) in \(\mathbb{R^3}\).
Calcolare \(\iiint_{C} y^2 dxdydz \). "
Io so che per calcolare il volume di un solido di rotazione bisogna parametrizzare la superficie con \(\theta \epsilon [0,2\pi)\) e la variabile dell'asse attorno il quale la superficie ruota, calcolarne lo Jacobiano e, a quel punto, calcolare
\(\int_{a}^{b}\) \(\int_{0}^{2\pi}\ JD\phi(\theta,z) dzd\theta\)
dove \(\mathrm{a}\) e \(\mathrm{b}\) sono gli estremi della variabile dell'asse attorno al quale ruota la figura e
\(\mathrm{J}D\phi(\theta,z)\) è lo Jacobiano in questione (formula dell'area).
Ma nel caso abbia anche una funzione come argomento dell'integrale e debba integrare sul solido di rotazione, come devo fare?
Risposte
Non è piu' sempice individuare il solido, che è un semplice cono con vertice in (0,0,2) e base un cerchio di raggio 2, e quindi determinare degli estremi di integrazione e quindi calcolare l'integrale ?
"Quinzio":
Non è piu' sempice individuare il solido, che è un semplice cono con vertice in (0,0,2) e base un cerchio di raggio 2, e quindi determinare degli estremi di integrazione e quindi calcolare l'integrale ?
Dato che non sono molto pratico, potresti mostrarmi i calcoli che faresti?
Considerando che $C$ è un cono con vertice nel punto $(0,0,2)$ (come detto da Quinzio) la parametrizzazione di $C$ dovrebbe essere molto semplice in coordinate cilindriche.
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