Integrale di una funzione sotto radice
Ciao a tutti, sto preparando un esame di Matematica, ma mi trovo in difficoltà con una tipologia di esercizi:
si tratta della risoluzione di Integrali (con il metodo della sostituzione) di funzioni sotto radice
Un esempio: $ int sqrt(1 + 9x^2) dx $
il libro suggerisce di sostituire $ t = 3x $
da qui parto a fare qualche calcolo ma mi blocco:
$ dt = 3dx $ , quindi $ dx= dt/3 $
sostituisco $t$ nell'integrale: $int sqrt(1 + t^2) dt/3 $ , porto fuori la costante: $ 1/3 int sqrt(1 + t^2) dt $
e non so più come andare avanti...è giusto fino ad ora il procedimento? se sì, come andare avanti?
N.B.: il risultato finale è $ x/2 sqrt(1 + 9x^2) + 1/6 ln(3x + sqrt(1 + 9x^2)) + c
Aiuto
Piffo
si tratta della risoluzione di Integrali (con il metodo della sostituzione) di funzioni sotto radice
Un esempio: $ int sqrt(1 + 9x^2) dx $
il libro suggerisce di sostituire $ t = 3x $
da qui parto a fare qualche calcolo ma mi blocco:
$ dt = 3dx $ , quindi $ dx= dt/3 $
sostituisco $t$ nell'integrale: $int sqrt(1 + t^2) dt/3 $ , porto fuori la costante: $ 1/3 int sqrt(1 + t^2) dt $
e non so più come andare avanti...è giusto fino ad ora il procedimento? se sì, come andare avanti?
N.B.: il risultato finale è $ x/2 sqrt(1 + 9x^2) + 1/6 ln(3x + sqrt(1 + 9x^2)) + c
Aiuto
Piffo
Risposte
Prova a sostituire $sinh t = 3x$ e dai un'occhiata alle funzioni iperboliche e alle loro inverse, derivate, primitive....
Ho seguito il tuo consiglio, credo di essere vicino alla soluzione
TEORIA:
Formule delle iperboliche: $senhx= (e^(2x) - e^(-2x))/2$ ; $coshx= (e^(2x) + e^(-2x))/2$
Relazioni tra le iperboliche: $cosh^2x - senh^2x = 1$ quindi $cosh^2x = 1 + senh^2$
Formule di duplicazione delle iperboliche: $senh(2x)= 2senhxcoshx$
Definizione logaritmica delle iperboliche: $arcsenh(x) = ln(x + sqrt(x^2 + 1))$
Provo a scrivere passo dopo passo le operazioni che ho fatto:
$int sqrt(1 + 9x^2) dx$ ; sostituisco $3x= senht$, quindi $x=1/3senht$, ottengo $dx=1/3 cosht dt$
l'integrale diventa: $int sqrt(1 + senh^2t)*1/3cosht*dt$ = $1/3 int sqrt(cosh^2t)*cosht*dt$ = $1/3 int cosht*cosht*dt$ = $1/3 int cosh^2t*dt$ =
=$1/3 int ((e^t + e^(-t))^2)/2dt$ = $1/3 int (e^(2t) + 2 + e^(-2t))/4 dt$ = $1/12 int e^(2t) + 2/12 int dt + 1/12 int e^(-2t)dt$ = $1/12*(e^(2t))/2 + 1/6*t + 1/12*(e^(-2t))/-2+c$ = $1/24*e^(2t) + 1/6*t - 1/24*e^(-2t) +c$ =
= $1/6*(1/4*e^(2t) -1/4*e^(-2t) +t) +c$ = $1/6*((e^(2t) - e^(-2t))/4 +t) +c$ = $1/6*(1/2*(e^(2t) - e^(-2t))/2 + t) +c$ = $1/6*(1/2*senh(2t) + t) +c$ = $1/6*(1/2*2*senht*cosht + t) +c$ = $1/6*t + 1/6*senht*cosht$
Ora, ricordando la sostituzione: $3x=senht$, allora $senht=3x$, quindi $t = arcsenh(3x)$ ..giusto?
Dalla teoria enunciata prima, $arcsenh(3x)= ln(3x + sqrt(9x^2 +1))$, quindi $1/6*t = 1/6arcsenh(3x) = 1/6 ln(3x + sqrt(9x^2 + 1))$
Confrontando il risultato con la soluzione dell'esercizio(vedi primo post), si può notare come una parte è risolta, quindi
$1/6t = 1/6 ln(3x + sqrt(9x^2 + 1))
mi manca la seconda parte: $1/6*senht*cosht= x/2*sqrt(9x^2 + 1)$
come sviluppo $1/6*senht*cosht$ ?? (credo che $senht= senh(arcsenh(3x)) = 3x$, non so come sviluppare $cosht$
Grazie
Piffo
TEORIA:
Formule delle iperboliche: $senhx= (e^(2x) - e^(-2x))/2$ ; $coshx= (e^(2x) + e^(-2x))/2$
Relazioni tra le iperboliche: $cosh^2x - senh^2x = 1$ quindi $cosh^2x = 1 + senh^2$
Formule di duplicazione delle iperboliche: $senh(2x)= 2senhxcoshx$
Definizione logaritmica delle iperboliche: $arcsenh(x) = ln(x + sqrt(x^2 + 1))$
Provo a scrivere passo dopo passo le operazioni che ho fatto:
$int sqrt(1 + 9x^2) dx$ ; sostituisco $3x= senht$, quindi $x=1/3senht$, ottengo $dx=1/3 cosht dt$
l'integrale diventa: $int sqrt(1 + senh^2t)*1/3cosht*dt$ = $1/3 int sqrt(cosh^2t)*cosht*dt$ = $1/3 int cosht*cosht*dt$ = $1/3 int cosh^2t*dt$ =
=$1/3 int ((e^t + e^(-t))^2)/2dt$ = $1/3 int (e^(2t) + 2 + e^(-2t))/4 dt$ = $1/12 int e^(2t) + 2/12 int dt + 1/12 int e^(-2t)dt$ = $1/12*(e^(2t))/2 + 1/6*t + 1/12*(e^(-2t))/-2+c$ = $1/24*e^(2t) + 1/6*t - 1/24*e^(-2t) +c$ =
= $1/6*(1/4*e^(2t) -1/4*e^(-2t) +t) +c$ = $1/6*((e^(2t) - e^(-2t))/4 +t) +c$ = $1/6*(1/2*(e^(2t) - e^(-2t))/2 + t) +c$ = $1/6*(1/2*senh(2t) + t) +c$ = $1/6*(1/2*2*senht*cosht + t) +c$ = $1/6*t + 1/6*senht*cosht$
Ora, ricordando la sostituzione: $3x=senht$, allora $senht=3x$, quindi $t = arcsenh(3x)$ ..giusto?
Dalla teoria enunciata prima, $arcsenh(3x)= ln(3x + sqrt(9x^2 +1))$, quindi $1/6*t = 1/6arcsenh(3x) = 1/6 ln(3x + sqrt(9x^2 + 1))$
Confrontando il risultato con la soluzione dell'esercizio(vedi primo post), si può notare come una parte è risolta, quindi
$1/6t = 1/6 ln(3x + sqrt(9x^2 + 1))
mi manca la seconda parte: $1/6*senht*cosht= x/2*sqrt(9x^2 + 1)$
come sviluppo $1/6*senht*cosht$ ?? (credo che $senht= senh(arcsenh(3x)) = 3x$, non so come sviluppare $cosht$
Grazie
Piffo
Essendo [tex]$\cosh(t)=\sqrt{1+\sinh^2t}$[/tex]...
EDIT: Mi ero confuso palesemente con l'equazione fondamentale delle funzioni iperboliche!
EDIT: Mi ero confuso palesemente con l'equazione fondamentale delle funzioni iperboliche!
Ehm....in realtà [tex]\cosh t = \sqrt{1+\sinh^2 t}[/tex]
trovato(credo) ...allora $cos(t) = sqrt(1 - sen^2t)$ ma usando le iperboliche $cosh(t) = sqrt(1 + senh^2t)
sapendo che $t=arcsen(3x)$, allora $cosh(arcsenh(3x)) = sqrt(1 + senh^2(arcsen3x)) = sqrt(1 + (3x)^2) = sqrt(1 + 9x^2)
Riprendendo ciò che mancava:
$1/6*senh(t)*cosh(t) = 1/6*sen(arcsenh(3x))*sqrt(1 + 9x^2) = 1/6*3x*sqrt(1 + 9x^2)= x/2*sqrt(1 + 9x^2)
Riprendo da dove mi ero perso:
Con il metodo di sostituzione ero arrivato a dire che l'integrale è uguale a $1/6*t + 1/6*senht*cosht + c$
ora $1/6*t + 1/6*senht*cosht +c = 1/6*arcsenh(3x) + 1/6*senh(arcsenh(3x))*sqrt(1 + senh^2(arcsenh(3x))) +c = 1/6*ln(3x + sqrt(9x^2 + 1)) + 1/6*3x*sqrt(1 + 9x^2) +c = 1/6*ln(3x + sqrt(9x^2 + 1)) + x/2*sqrt(1 + 9x^2) +c$
Se è giusto, ricopio tutto l'esercizio e la soluzione nel prossimo post, così che possa essere di aiuto per altri in futuro
Piffo
...allora $cos(t) = sqrt(1 - sen^2t)$ ma usando le iperboliche $cosh(t) = sqrt(1 + senh^2t)sapendo che $t=arcsen(3x)$, allora $cosh(arcsenh(3x)) = sqrt(1 + senh^2(arcsen3x)) = sqrt(1 + (3x)^2) = sqrt(1 + 9x^2)
Riprendendo ciò che mancava:
$1/6*senh(t)*cosh(t) = 1/6*sen(arcsenh(3x))*sqrt(1 + 9x^2) = 1/6*3x*sqrt(1 + 9x^2)= x/2*sqrt(1 + 9x^2)
Riprendo da dove mi ero perso:
Ora, ricordando la sostituzione: $3x=senht$, allora $senht=3x$, quindi $t = arcsenh(3x)$ ..giusto?
Dalla teoria enunciata prima, $arcsenh(3x)= ln(3x + sqrt(9x^2 +1))$, quindi $1/6*t = 1/6arcsenh(3x) = 1/6 ln(3x + sqrt(9x^2 + 1))$
Con il metodo di sostituzione ero arrivato a dire che l'integrale è uguale a $1/6*t + 1/6*senht*cosht + c$
ora $1/6*t + 1/6*senht*cosht +c = 1/6*arcsenh(3x) + 1/6*senh(arcsenh(3x))*sqrt(1 + senh^2(arcsenh(3x))) +c = 1/6*ln(3x + sqrt(9x^2 + 1)) + 1/6*3x*sqrt(1 + 9x^2) +c = 1/6*ln(3x + sqrt(9x^2 + 1)) + x/2*sqrt(1 + 9x^2) +c$
Se è giusto, ricopio tutto l'esercizio e la soluzione nel prossimo post, così che possa essere di aiuto per altri in futuro
Piffo
A me sembra giusto.
[size=150]SOLUZIONE DELL'ESERCIZIO:[/size]
TEORIA:
Formule delle iperboliche: $senhx= (e^(2x) - e^(-2x))/2$ ; $coshx= (e^(2x) + e^(-2x))/2$
Relazioni tra le iperboliche 1: $cosh^2x - senh^2x = 1$ quindi $cosh^2x = 1 + senh^2$
Relazioni tra le iperboliche 2: $coshx = sqrt(1 + senh^2x)$
Formule di duplicazione delle iperboliche: $senh(2x)= 2senhxcoshx = (e^(2x) - e^(-2x))/2$
Definizione logaritmica delle iperboliche: $arcsenh(x) = ln(x + sqrt(x^2 + 1))$
Altre Relazioni: $senh(arcsenhx) = x$
INTEGRALI: $int e^(2x)dx = (e^(2x))/2$ ; $int e^(-2x)dx = (-e^(-2x))/2
SOLUZIONE:
$int sqrt(1 + 9x^2) dx$ ; sostituisco $3x= senht$, quindi $x=1/3senht$, ottengo $dx=1/3 cosht dt$
l'integrale diventa: $int sqrt(1 + senh^2t)*1/3cosht*dt$ = $1/3 int sqrt(cosh^2t)*cosht*dt$ = $1/3 int cosht*cosht*dt$ = $1/3 int cosh^2t*dt$ =
=$1/3 int ((e^t + e^(-t))^2)/2dt$ = $1/3 int (e^(2t) + 2 + e^(-2t))/4 dt$ = $1/12 int e^(2t) + 2/12 int dt + 1/12 int e^(-2t)dt$ = $1/12*(e^(2t))/2 + 1/6*t + 1/12*(e^(-2t))/-2+c$ = $1/24*e^(2t) + 1/6*t - 1/24*e^(-2t) +c$ =
= $1/6*(1/4*e^(2t) -1/4*e^(-2t) +t) +c$ = $1/6*((e^(2t) - e^(-2t))/4 +t) +c$ = $1/6*(1/2*(e^(2t) - e^(-2t))/2 + t) +c$ = $1/6*(1/2*senh(2t) + t) +c$ = $1/6*(1/2*2*senht*cosht + t) +c$ = $1/6*t + 1/6*senht*cosht +c$
Ora, ricordando la sostituzione: $3x=senht$, allora $senht=3x$, quindi $t = arcsenh(3x)$
Quindi $1/6*t + 1/6*senht*cosht +c = 1/6*arcsenh(3x) + 1/6*senh(arcsenh(3x))*sqrt(1 + senh^2(arcsenh(3x))) +c = 1/6*ln(3x + sqrt(9x^2 + 1)) + 1/6*3x*sqrt(1 + 9x^2) +c = 1/6*ln(3x + sqrt(9x^2 + 1)) + x/2*sqrt(1 + 9x^2) +c$
IN BREVE: $int sqrt(1 + 9x^2) dx = 1/6*ln(3x + sqrt(9x^2 + 1)) + x/2*sqrt(1 + 9x^2) +c $
Spero che questo esercizio sia di aiuto in futuro
Ciao!
Piffo
TEORIA:
Formule delle iperboliche: $senhx= (e^(2x) - e^(-2x))/2$ ; $coshx= (e^(2x) + e^(-2x))/2$
Relazioni tra le iperboliche 1: $cosh^2x - senh^2x = 1$ quindi $cosh^2x = 1 + senh^2$
Relazioni tra le iperboliche 2: $coshx = sqrt(1 + senh^2x)$
Formule di duplicazione delle iperboliche: $senh(2x)= 2senhxcoshx = (e^(2x) - e^(-2x))/2$
Definizione logaritmica delle iperboliche: $arcsenh(x) = ln(x + sqrt(x^2 + 1))$
Altre Relazioni: $senh(arcsenhx) = x$
INTEGRALI: $int e^(2x)dx = (e^(2x))/2$ ; $int e^(-2x)dx = (-e^(-2x))/2
SOLUZIONE:
$int sqrt(1 + 9x^2) dx$ ; sostituisco $3x= senht$, quindi $x=1/3senht$, ottengo $dx=1/3 cosht dt$
l'integrale diventa: $int sqrt(1 + senh^2t)*1/3cosht*dt$ = $1/3 int sqrt(cosh^2t)*cosht*dt$ = $1/3 int cosht*cosht*dt$ = $1/3 int cosh^2t*dt$ =
=$1/3 int ((e^t + e^(-t))^2)/2dt$ = $1/3 int (e^(2t) + 2 + e^(-2t))/4 dt$ = $1/12 int e^(2t) + 2/12 int dt + 1/12 int e^(-2t)dt$ = $1/12*(e^(2t))/2 + 1/6*t + 1/12*(e^(-2t))/-2+c$ = $1/24*e^(2t) + 1/6*t - 1/24*e^(-2t) +c$ =
= $1/6*(1/4*e^(2t) -1/4*e^(-2t) +t) +c$ = $1/6*((e^(2t) - e^(-2t))/4 +t) +c$ = $1/6*(1/2*(e^(2t) - e^(-2t))/2 + t) +c$ = $1/6*(1/2*senh(2t) + t) +c$ = $1/6*(1/2*2*senht*cosht + t) +c$ = $1/6*t + 1/6*senht*cosht +c$
Ora, ricordando la sostituzione: $3x=senht$, allora $senht=3x$, quindi $t = arcsenh(3x)$
Quindi $1/6*t + 1/6*senht*cosht +c = 1/6*arcsenh(3x) + 1/6*senh(arcsenh(3x))*sqrt(1 + senh^2(arcsenh(3x))) +c = 1/6*ln(3x + sqrt(9x^2 + 1)) + 1/6*3x*sqrt(1 + 9x^2) +c = 1/6*ln(3x + sqrt(9x^2 + 1)) + x/2*sqrt(1 + 9x^2) +c$
IN BREVE: $int sqrt(1 + 9x^2) dx = 1/6*ln(3x + sqrt(9x^2 + 1)) + x/2*sqrt(1 + 9x^2) +c $
Spero che questo esercizio sia di aiuto in futuro
Ciao!
Piffo
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