Integrale di una forma differenziale lungo una curva
Buongiorno a tutti,
ho questo quesito a cui non riesco a trovare una risposta...non riesco a capire quali formule devo utilizzare e che procedimento. Spero possiate aiutarmi...grazie in anticipo!
Sia w la forma differenziale
$ w=y^2*e^(xy^2-z)dx+2xye^(x*y^2)dy-xdz $
Poniamo $ f(a):=int_(Ya)w $
dove Ya è una qualunque curva che congiunge (nell'ordine) i punti (1,1,1) e (1,0,a).
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
$ f(-3)=e+5 $
$ f(1)=1-e $
$ f(5)=3+e $
$ f(pi)=0 $
ho questo quesito a cui non riesco a trovare una risposta...non riesco a capire quali formule devo utilizzare e che procedimento. Spero possiate aiutarmi...grazie in anticipo!
Sia w la forma differenziale
$ w=y^2*e^(xy^2-z)dx+2xye^(x*y^2)dy-xdz $
Poniamo $ f(a):=int_(Ya)w $
dove Ya è una qualunque curva che congiunge (nell'ordine) i punti (1,1,1) e (1,0,a).
Quale delle seguenti affermazioni è vera?
$ f(-3)=e+5 $
$ f(1)=1-e $
$ f(5)=3+e $
$ f(pi)=0 $
Risposte
L'hai scritta bene la forma differenziale ? Perchè non è irrotazionale.
Si...comunque è possibile che la forma non sia esatta e che non ci sia una risposta corretta tra le 4 opzioni.
Eh, perchè se la forma non è esatta il cammino fatto è importante, mentre il testo dice "dove Ya è una qualunque curva".
Ok, grazie 1000 per la risposta Quinzio! 
Ma se il testo fosse stato corretto come si svolge un esercizio del genere?
Mi interesserebbe saperlo perché dovrò svolgerne uno simile molto presto e dovrei sapere come si arriva "al risultato"...
Grazie 1000 ancora!
Ma se il testo fosse stato corretto come si svolge un esercizio del genere?
Mi interesserebbe saperlo perché dovrò svolgerne uno simile molto presto e dovrei sapere come si arriva "al risultato"...
Grazie 1000 ancora!
"Ennio 1991":
Ok, grazie 1000 per la risposta Quinzio!
Ma se il testo fosse stato corretto come si svolge un esercizio del genere?
Mi interesserebbe saperlo perché dovrò svolgerne uno simile molto presto e dovrei sapere come si arriva "al risultato"...
Grazie 1000 ancora!
Per testo corretto intendo che la "forma si scritta bene" e che "Ya è una curva qualunque"
Un modo è quello di risolvere l'integrale generale della forma. Però può essere noioso.
Altrimenti devi "spezzare il cammino" in 3 pezzi paralleli agli assi. cioè se devi andare da $(a,b,c)$ a $(a',b',c')$, fai questi 3 pezzi.
$\gamma_1:(a,b,c)->(a',b,c)$
$\gamma_2:(a',b,c)->(a',b',c)$
$\gamma_3:(a',b',c)->(a',b',c')$
In $\gamma_1$ l'unica coordinata a variare è $x$, giusto ? Quindi avrai $dy=dz=0$, e per gli altri pezzi si ragiona in modo simile.
Quindi parametrizzi il cammino e integri su ciascuno dei pezzi.
Poi sommi i risultati.
Altrimenti devi "spezzare il cammino" in 3 pezzi paralleli agli assi. cioè se devi andare da $(a,b,c)$ a $(a',b',c')$, fai questi 3 pezzi.
$\gamma_1:(a,b,c)->(a',b,c)$
$\gamma_2:(a',b,c)->(a',b',c)$
$\gamma_3:(a',b',c)->(a',b',c')$
In $\gamma_1$ l'unica coordinata a variare è $x$, giusto ? Quindi avrai $dy=dz=0$, e per gli altri pezzi si ragiona in modo simile.
Quindi parametrizzi il cammino e integri su ciascuno dei pezzi.
Poi sommi i risultati.
Scusami, ma potresti essere un po' più dettagliato...
altrimenti, non riesco a capire...
Come faccio a parametrizzare il cammino?
E l'integrale come devo impostarlo?
altrimenti, non riesco a capire...
Come faccio a parametrizzare il cammino?
E l'integrale come devo impostarlo?
Allora noi andiamo da $(1,1,1)$ a $(1,0,a)$.
Quindi $\gamma_1$ è nullo siccome $a=a'$.
Se $f(a)=f(a)_1+f(a)_2+f(a)_3$
per adesso abbiamo $f(a)_1=0$
Passiamo a $\gamma_2$
$\gamma_2 = (1,1,1)->(1,0,1) = (1,t,1), (t:1->0)$
Quindi $x=1,y=t,z=1$ da cui $dx=0, dy=dt, dz=0$
e $f(a)_2$ diventa
$f(a)_2=\int_1^0 2te^(t^2)dt$
e rimane $f(a)_3$
Quindi $\gamma_1$ è nullo siccome $a=a'$.
Se $f(a)=f(a)_1+f(a)_2+f(a)_3$
per adesso abbiamo $f(a)_1=0$
Passiamo a $\gamma_2$
$\gamma_2 = (1,1,1)->(1,0,1) = (1,t,1), (t:1->0)$
Quindi $x=1,y=t,z=1$ da cui $dx=0, dy=dt, dz=0$
e $f(a)_2$ diventa
$f(a)_2=\int_1^0 2te^(t^2)dt$
e rimane $f(a)_3$
Grazie!
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