Integrale di una Forma Differenziale
Salve, ho bisogno di un piccolo aiuto nella risoluzione di questo integrale; la traccia è la seguente:
L'esercizio suggerisce di "spezzare" la forma differenziale in modo opportuno, ma non ho capito cosa intenda.
Adoperando la definizione di integrale di una forma differenziale, e sostituendo, nella f.d., $cos(t)$ a x e $2sin(t)$ a y, mi trovo con dei termini del tipo $cos(cos(t))$ oppure $sin(2sin(t))$.
Ringrazio per l'aiuto.
data $w=((2xcos(x))/(2+x^2+x^4)+xy)dx+(sin(y)ln(2+y^2+y^4)dy$, calcolarne l'integrale lungo la curva $x=cos(t),y=2sin(t)$, con $t \in [0,2pi]$, orientata in verso ORARIO.
L'esercizio suggerisce di "spezzare" la forma differenziale in modo opportuno, ma non ho capito cosa intenda.
Adoperando la definizione di integrale di una forma differenziale, e sostituendo, nella f.d., $cos(t)$ a x e $2sin(t)$ a y, mi trovo con dei termini del tipo $cos(cos(t))$ oppure $sin(2sin(t))$.
Ringrazio per l'aiuto.
Risposte
Di solito quando vedi che l'integrazione lungo lacurva prestabilita viene difficile ( o impossibile in termini elementari ), conviene verificare l'esattezza della stessa per poi poter procedere con l'integrazione lungo un altro persorso a piacere, più semplice.
"pater46":
Di solito quando vedi che l'integrazione lungo lacurva prestabilita viene difficile ( o impossibile in termini elementari ), conviene verificare l'esattezza della stessa per poi poter procedere con l'integrazione lungo un altro persorso a piacere, più semplice.
beh, fare l'integrale di quella roba non è comunque facilissimo..potresti farmi, se ti è possibile, un esempio?
bhè non è mica necessario integrare se sono soddisfatte certe condizioni: se è esatta, visto che sei su un circuito, allora l'integrale vale 0.
cosa puoi dire riguardo l'insieme in cui è definita la f.d.?
cosa puoi dire riguardo l'insieme in cui è definita la f.d.?
@guybrush1989: Sei sicuro di aver copiato bene il testo dell'esercizio?
scusate se non ho risposto subito, ho avuto problemi con internet..
@gugo82: no, la traccia è scritta bene, è proprio così come è riportato dalla professoressa su fotocopia;
@enr87: da come ho capito io, qualora una forma differenziale sia esatta, qualsiasi sia la curva su cui si integra la f.d., tale integrale sarà 0. Se non sbaglio è proprio una conseguenza dei 2 teoremi sulle f.d. (integrazione e caratterizzazione).
per quanto riguarda l'insieme di definizione, direi che la razionale $2+x^2+x^4$ è inutile porla diversa da 0 perchè non si annulla mai; l'argomento del logaritmo, invece, risulta sempre >0 qualsiasi sia l'y che si va a sostituire
@gugo82: no, la traccia è scritta bene, è proprio così come è riportato dalla professoressa su fotocopia;
@enr87: da come ho capito io, qualora una forma differenziale sia esatta, qualsiasi sia la curva su cui si integra la f.d., tale integrale sarà 0. Se non sbaglio è proprio una conseguenza dei 2 teoremi sulle f.d. (integrazione e caratterizzazione).
per quanto riguarda l'insieme di definizione, direi che la razionale $2+x^2+x^4$ è inutile porla diversa da 0 perchè non si annulla mai; l'argomento del logaritmo, invece, risulta sempre >0 qualsiasi sia l'y che si va a sostituire
se gugo ti ha detto così forse c'è qualcosa che non va dopo.. comunque andiamo con calma. se una fd è esatta si annulla su qualsiasi circuito, non curva! ad ogni modo è definita per ogni x e y.
hai provato a vedere se è chiusa?
hai provato a vedere se è chiusa?
@guybrush1989 & enr87: Proprio il fatto che non sia chiusa (si vede ad occhio; la derivata rispetto a [tex]$x$[/tex] del coefficiente di [tex]$\text{d} y$[/tex] è nulla, mentre ciò non accade per quella fatta rispetto ad [tex]$y$[/tex] del coefficiente di [tex]$\text{d} x$[/tex]) mi insospettisce... Anche perchè volendo calcolare esplicitamente l'integrale vengono integrandi apparentemente brutti.
Per me sulla fotocopia c'è un errore: può essere che è venuta tagliata?
Oppure, se proprio non c'è margine di errore, potresti provare a vedere se gli integrandi, una volta che hai sostituito la parametrizzazione, vengono periodici con periodo del tipo [tex]$\tfrac{\pi}{n}$[/tex] con [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex].
Per me sulla fotocopia c'è un errore: può essere che è venuta tagliata?
Oppure, se proprio non c'è margine di errore, potresti provare a vedere se gli integrandi, una volta che hai sostituito la parametrizzazione, vengono periodici con periodo del tipo [tex]$\tfrac{\pi}{n}$[/tex] con [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex].
Non so molto di forme differenziali, quindi la butto là e anzi attendo correzioni.
La forma
[tex]$\omega=\Bigr(\frac{2x\cos x}{2+x^2+x^4}+xy\Bigr)dx+\Bigr(\sin y\ln(2+y^2+y^4)\Bigr)dy$[/tex] non è esatta e si vede subito appunto, tuttavia la forma
[tex]$\omega'=\Bigr(\frac{2x\cos x}{2+x^2+x^4}\Bigr)dx+\Bigr(\sin y\ln(2+y^2+y^4)\Bigr)dy$[/tex] è banalmente esatta perché chiusa in un semplicemente connesso.
D'altra parte risulta (salvo sviste di calcolo)
[tex]$\int_\gamma\omega=\int_\gamma\omega'+\int_0^{2\pi}-2\cos t\sin^2 t \text{d}t$[/tex]
ma il secondo membro è immediato perché il primo integrale è nullo e il secondo si calcola subito senza problemi.
Attendo conferme o smentite
Ciao.
La forma
[tex]$\omega=\Bigr(\frac{2x\cos x}{2+x^2+x^4}+xy\Bigr)dx+\Bigr(\sin y\ln(2+y^2+y^4)\Bigr)dy$[/tex] non è esatta e si vede subito appunto, tuttavia la forma
[tex]$\omega'=\Bigr(\frac{2x\cos x}{2+x^2+x^4}\Bigr)dx+\Bigr(\sin y\ln(2+y^2+y^4)\Bigr)dy$[/tex] è banalmente esatta perché chiusa in un semplicemente connesso.
D'altra parte risulta (salvo sviste di calcolo)
[tex]$\int_\gamma\omega=\int_\gamma\omega'+\int_0^{2\pi}-2\cos t\sin^2 t \text{d}t$[/tex]
ma il secondo membro è immediato perché il primo integrale è nullo e il secondo si calcola subito senza problemi.
Attendo conferme o smentite
Ciao.
mi sa che c'hai azzeccato
"Steven":
Non so molto di forme differenziali, quindi la butto là e anzi attendo correzioni.
La forma
[tex]$\omega=\Bigr(\frac{2x\cos x}{2+x^2+x^4}+xy\Bigr)dx+\Bigr(\sin y\ln(2+y^2+y^4)\Bigr)dy$[/tex] non è esatta e si vede subito appunto, tuttavia la forma
[tex]$\omega'=\Bigr(\frac{2x\cos x}{2+x^2+x^4}\Bigr)dx+\Bigr(\sin y\ln(2+y^2+y^4)\Bigr)dy$[/tex] è banalmente esatta perché chiusa in un semplicemente connesso.
D'altra parte risulta (salvo sviste di calcolo)
[tex]$\int_\gamma\omega=\int_\gamma\omega'+\int_0^{2\pi}-2\cos t\sin^2 t \text{d}t$[/tex]
ma il secondo membro è immediato perché il primo integrale è nullo e il secondo si calcola subito senza problemi.
Attendo conferme o smentite
Ciao.
scusami, non ho ben capito cosa hai fatto..
hai praticamente considerato $omega'$ che è la forma differenziale senza il termine "xy" in dx, che è chiusa in un semplicemente connesso di R^2 e quindi esatta.
però non ho capito il passaggio dopo, quello degli integrali
@Steven: Ottima idea quella di sfruttare la linearità... Bravo.
@guybrush1989: Steven ha pensato di usare la linearità.
Infatti ha notato che la tua forma differenziale lineare si può scrivere come somma [tex]$\omega (x,y;\text{d} x,\text{d}y)=\omega_1 (x,y;\text{d} x,\text{d}y) +\omega_2 (x,y;\text{d} x,\text{d}y)$[/tex], dove [tex]$\omega_1$[/tex] ed [tex]$\omega_2$[/tex] sono le due ff.dd.ll. definite ponendo:
[tex]$\omega_1 (x,y;\text{d} x,\text{d}y):= \frac{2x\cos x}{2+x^2+x^4}\ \text{d} x +\sin y\ \ln (2+y^2+y^4)\ \text{d} y$[/tex] ed
[tex]$\omega_2 (x,y;\text{d} x,\text{d}y):= xy\ \text{d} x$[/tex];
notato ciò, usando la linearità dell'integrale, si trova:
[tex]$\int_{+\gamma} \omega (x,y;\text{d} x,\text{d}y) =\int_{+\gamma} \omega_1 (x,y;\text{d} x,\text{d}y) +\int_{+\gamma} \omega_2 (x,y;\text{d} x,\text{d}y)$[/tex],
quindi per calcolare il tuo integrale occorre e basta saper calcolare i due integrali a secondo membro.
Evidentemente [tex]$\omega_1$[/tex] è esatta (poiché chiusa in tutto [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex], che è un aperto semplicemente connesso), quindi l'integrale di [tex]$\omega_1$[/tex] esteso ad una qualsiasi curva chiusa [tex]$\gamma$[/tex] è nullo. Nel tuo caso [tex]$\gamma$[/tex] è un'ellisse (che è una curva chiusa), ergo [tex]$\int_{\pm \gamma}\omega_1 (x,y;\text{d} x,\text{d}y) =0$[/tex].
D'altra parte [tex]$\omega_2$[/tex] non esatta, quindi non si può dire subito quanto valga il secondo integrale.
Tuttavia l'integrale di [tex]$\omega_2$[/tex] esteso alla tua ellisse si calcola facilmente con la formula:
[tex]$\int_{+\gamma} \omega_2 (x,y;\text{d} x,\text{d}y) =\int_{+\gamma} xy\ \text{d} x =-\int_0^{2\pi} \cos t\ (2\sin t)\ (-\sin t\ \text{d} t)$[/tex]
(infatti [tex]$x=\cos t,\ y=2\sin t,$[/tex] quindi [tex]$\text{d}x =-\sin t\ \text{d}t$[/tex] ed il segno [tex]$-$[/tex] davanti all'ultimo membro viene perchè [tex]$+\gamma$[/tex] è orientata nel verso opposto a quello indotto dalla r.p.).
Quindi nel tuo caso:
[tex]$\int_{+\gamma} \omega (x,y;\text{d} x,\text{d}y) =2\int_0^{2\pi} \cos t\ \sin^2 t\ \text{d} t$[/tex]
con l'ultimo integrale immediato.
Ovviamente devi ricontrollare i passaggi, perchè potrei aver commesso qualche errore (che sono sicuro eventualmente mi potrai perdonare).
@guybrush1989: Steven ha pensato di usare la linearità.
Infatti ha notato che la tua forma differenziale lineare si può scrivere come somma [tex]$\omega (x,y;\text{d} x,\text{d}y)=\omega_1 (x,y;\text{d} x,\text{d}y) +\omega_2 (x,y;\text{d} x,\text{d}y)$[/tex], dove [tex]$\omega_1$[/tex] ed [tex]$\omega_2$[/tex] sono le due ff.dd.ll. definite ponendo:
[tex]$\omega_1 (x,y;\text{d} x,\text{d}y):= \frac{2x\cos x}{2+x^2+x^4}\ \text{d} x +\sin y\ \ln (2+y^2+y^4)\ \text{d} y$[/tex] ed
[tex]$\omega_2 (x,y;\text{d} x,\text{d}y):= xy\ \text{d} x$[/tex];
notato ciò, usando la linearità dell'integrale, si trova:
[tex]$\int_{+\gamma} \omega (x,y;\text{d} x,\text{d}y) =\int_{+\gamma} \omega_1 (x,y;\text{d} x,\text{d}y) +\int_{+\gamma} \omega_2 (x,y;\text{d} x,\text{d}y)$[/tex],
quindi per calcolare il tuo integrale occorre e basta saper calcolare i due integrali a secondo membro.
Evidentemente [tex]$\omega_1$[/tex] è esatta (poiché chiusa in tutto [tex]$\mathbb{R}^2$[/tex], che è un aperto semplicemente connesso), quindi l'integrale di [tex]$\omega_1$[/tex] esteso ad una qualsiasi curva chiusa [tex]$\gamma$[/tex] è nullo. Nel tuo caso [tex]$\gamma$[/tex] è un'ellisse (che è una curva chiusa), ergo [tex]$\int_{\pm \gamma}\omega_1 (x,y;\text{d} x,\text{d}y) =0$[/tex].
D'altra parte [tex]$\omega_2$[/tex] non esatta, quindi non si può dire subito quanto valga il secondo integrale.
Tuttavia l'integrale di [tex]$\omega_2$[/tex] esteso alla tua ellisse si calcola facilmente con la formula:
[tex]$\int_{+\gamma} \omega_2 (x,y;\text{d} x,\text{d}y) =\int_{+\gamma} xy\ \text{d} x =-\int_0^{2\pi} \cos t\ (2\sin t)\ (-\sin t\ \text{d} t)$[/tex]
(infatti [tex]$x=\cos t,\ y=2\sin t,$[/tex] quindi [tex]$\text{d}x =-\sin t\ \text{d}t$[/tex] ed il segno [tex]$-$[/tex] davanti all'ultimo membro viene perchè [tex]$+\gamma$[/tex] è orientata nel verso opposto a quello indotto dalla r.p.).
Quindi nel tuo caso:
[tex]$\int_{+\gamma} \omega (x,y;\text{d} x,\text{d}y) =2\int_0^{2\pi} \cos t\ \sin^2 t\ \text{d} t$[/tex]
con l'ultimo integrale immediato.
Ovviamente devi ricontrollare i passaggi, perchè potrei aver commesso qualche errore (che sono sicuro eventualmente mi potrai perdonare
).
Mi era sfuggito totalmente che il senso del percorso fosse orario, quindi nel mio intervento manca un segno meno
Si veda al proposito il post di gugo82, che ringrazio per la conferma.
Ciao.
Si veda al proposito il post di gugo82, che ringrazio per la conferma.
Ciao.
grazie, siete grandissimi! 
scusate se vi scoccio di nuovo...ho un problema analogo a quello precedente;
la forma differenziale è $omega=((x/(1+x^2+y^2))+xy)dx+(y/(1+x^2+y^2))dy$
e devo trovare l'integrale di questa f.d. lungo $gamma$, frontiera di $y=e^x$, $x€[0;1]$. nel verso antiorario
Ora, ho spezzato $omega$ in:
$omega'=((x/(1+x^2+y^2))dx+(y/(1+x^2+y^2))dy$
$omega''=(xy)dx$
ho verificato che la prima è chiusa, pertanto esatta perchè la $omega'$ è definita in R^2 che è semplicemente connesso, mentre $omega''$ non è esatta.
Dopodichè, ho notato che stavolta la curva $gamma$ non è chiusa, ma può essere parametrizzata come segue:
$x(t)=t$
$y(t)=e^t$, $t€[0;1]$.
Poichè $gamma$ non è chiusa, allora devo calcolarmi i 2 integrali secondo la definizione di integrale di forma differenziale;
per $omega''$ è semplice, e per $omega'$ scriverò:
$int(0,1) (t/(t^2+e^(2t)+1) dt + int(0,1) (e^t/(t^2+e^(2t)+1)) dt$ (sarebbero integrali tra 0 e 1, non riesco a scriverlo bene)
che non mi sembrano integrali risolvibili in coordinate cartesiane..devo forse passare in coordinate polari o magari ho sbagliato qualcosa nel procedimento?
la forma differenziale è $omega=((x/(1+x^2+y^2))+xy)dx+(y/(1+x^2+y^2))dy$
e devo trovare l'integrale di questa f.d. lungo $gamma$, frontiera di $y=e^x$, $x€[0;1]$. nel verso antiorario
Ora, ho spezzato $omega$ in:
$omega'=((x/(1+x^2+y^2))dx+(y/(1+x^2+y^2))dy$
$omega''=(xy)dx$
ho verificato che la prima è chiusa, pertanto esatta perchè la $omega'$ è definita in R^2 che è semplicemente connesso, mentre $omega''$ non è esatta.
Dopodichè, ho notato che stavolta la curva $gamma$ non è chiusa, ma può essere parametrizzata come segue:
$x(t)=t$
$y(t)=e^t$, $t€[0;1]$.
Poichè $gamma$ non è chiusa, allora devo calcolarmi i 2 integrali secondo la definizione di integrale di forma differenziale;
per $omega''$ è semplice, e per $omega'$ scriverò:
$int(0,1) (t/(t^2+e^(2t)+1) dt + int(0,1) (e^t/(t^2+e^(2t)+1)) dt$ (sarebbero integrali tra 0 e 1, non riesco a scriverlo bene)
che non mi sembrano integrali risolvibili in coordinate cartesiane..devo forse passare in coordinate polari o magari ho sbagliato qualcosa nel procedimento?
Non mi trovo con gl'integrali finali, prova a ripetere i conti di questi ultimi!
"guybrush1989":
scusate se vi scoccio di nuovo...ho un problema analogo a quello precedente;
la forma differenziale è $omega=((x/(1+x^2+y^2))+xy)dx+(y/(1+x^2+y^2))dy$
e devo trovare l'integrale di questa f.d. lungo $gamma$, frontiera di $y=e^x$, $x€[0;1]$. nel verso antiorario
Ora, ho spezzato $omega$ in:
$omega'=((x/(1+x^2+y^2))dx+(y/(1+x^2+y^2))dy$
$omega''=(xy)dx$
ho verificato che la prima è chiusa, pertanto esatta perchè la $omega'$ è definita in R^2 che è semplicemente connesso, mentre $omega''$ non è esatta.
Dopodichè, ho notato che stavolta la curva $gamma$ non è chiusa, ma può essere parametrizzata come segue:
$x(t)=t$
$y(t)=e^t$, $t€[0;1]$.
Poichè $gamma$ non è chiusa, allora devo calcolarmi i 2 integrali secondo la definizione di integrale di forma differenziale;
per $omega''$ è semplice, e per $omega'$ scriverò:
$int(0,1) (t/(t^2+e^(2t)+1) dt + int(0,1) (e^(2t)/(t^2+e^(2t)+1)) dt$ (sarebbero integrali tra 0 e 1, non riesco a scriverlo bene)
che non mi sembrano integrali risolvibili in coordinate cartesiane..devo forse passare in coordinate polari o magari ho sbagliato qualcosa nel procedimento?
Non capisco il testo dell'esercizio.
La curva [tex]$y=e^x$[/tex] con [tex]$x\in [0,1]$[/tex] non è frontiera di alcunché*...
Non è che si voleva intendere la frontiera del rettangoloide relativo alla funzione [tex]$e^x$[/tex] di base [tex]$[0,1]$[/tex]?
Ossia quella curva chiusa regolare a tratti disegnata in rosso in figura?
[asvg]xmin=-1; xmax=2;ymin=0; ymax=3;
axes("","");
plot("exp(x)",-2,0); plot("exp(x)",1,3);
stroke="red";
plot("exp(x)",0,1); line([0,0],[1,0]); line([0,0],[0,1]); line([1,0],[1,2.718]);[/asvg]
O forse si intendeva curva grafico di [tex]$y=e^x$[/tex] con [tex]$x\in [0,1]$[/tex]?
__________
* Tranne che di se stessa, giacché essa è fatta tutta di punti di frontiera.
La curva [tex]$y=e^x$[/tex] con [tex]$x\in [0,1]$[/tex] non è frontiera di alcunché*...
Non è che si voleva intendere la frontiera del rettangoloide relativo alla funzione [tex]$e^x$[/tex] di base [tex]$[0,1]$[/tex]?
Ossia quella curva chiusa regolare a tratti disegnata in rosso in figura?
[asvg]xmin=-1; xmax=2;ymin=0; ymax=3;
axes("","");
plot("exp(x)",-2,0); plot("exp(x)",1,3);
stroke="red";
plot("exp(x)",0,1); line([0,0],[1,0]); line([0,0],[0,1]); line([1,0],[1,2.718]);[/asvg]
O forse si intendeva curva grafico di [tex]$y=e^x$[/tex] con [tex]$x\in [0,1]$[/tex]?
__________
* Tranne che di se stessa, giacché essa è fatta tutta di punti di frontiera.
il testo dice testualmente:"$gamma$ è il sostegno della curva di equazione $y=e^x$, x in [0;1], orientata nel verso delle x crescenti
Per calcolare l'integrale della forma [tex]$\omega'$[/tex] puoi usare l'esattezza.
Stavolta il cammino non è chiuso, ma puoi sfruttare il fatto che con l'esattezza uno vale l'altro ai fini del calcolo dell'integrale, purché abbiano gli stessi estremi, che in questo caso sono $(0,1)$ e $(1,e)$.
Due segmenti (uno verticale e uno orizzontale) potrebbero essere una buona scelta
Stavolta il cammino non è chiuso, ma puoi sfruttare il fatto che con l'esattezza uno vale l'altro ai fini del calcolo dell'integrale, purché abbiano gli stessi estremi, che in questo caso sono $(0,1)$ e $(1,e)$.
Due segmenti (uno verticale e uno orizzontale) potrebbero essere una buona scelta
"Steven":
Per calcolare l'integrale della forma [tex]$\omega'$[/tex] puoi usare l'esattezza.
Stavolta il cammino non è chiuso, ma puoi sfruttare il fatto che con l'esattezza uno vale l'altro ai fini del calcolo dell'integrale, purché abbiano gli stessi estremi, che in questo caso sono $(0,1)$ e $(1,e)$.
Due segmenti (uno verticale e uno orizzontale) potrebbero essere una buona scelta
intendi praticamente considerare 2 cammini, ovvero 2 segmenti, uno di estremi (0,1) e l'altro (1,e), e calcolare la forma differenziale ristretta ai 2 segmenti?
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