Integrale di una forma differenziale
Ciao 
avrei questo esercizio da risolvere:
Sia $ L={(x,y,z)€R^3: x^2+y^2=1, x+y+z=0, z>=0} $ . Calcolare $ int_(L)xdx+ydy+zdz $ .
Ora, io non so proprio come iniziare, perché non so come comportarmi con il dominio di integrazione, dato che non ho mai fatto un esercizio del genere. Con i domini di integrazione ci ho lavorato per quanto riguarda gli integrali doppi o tripli, lì so come lavorarci, ma qui non ne ho idea.. qualcuno può aiutarmi?
avrei questo esercizio da risolvere:Sia $ L={(x,y,z)€R^3: x^2+y^2=1, x+y+z=0, z>=0} $ . Calcolare $ int_(L)xdx+ydy+zdz $ .
Ora, io non so proprio come iniziare, perché non so come comportarmi con il dominio di integrazione, dato che non ho mai fatto un esercizio del genere. Con i domini di integrazione ci ho lavorato per quanto riguarda gli integrali doppi o tripli, lì so come lavorarci, ma qui non ne ho idea.. qualcuno può aiutarmi?
Risposte
$L$ è una curva ed è una $1$-superficie in $\RR^3$ parametrizzabile ad esempio nella seguente maniera:
\[ \gamma : [0, 2 \pi] \to \mathbb{R}^3 \]
\[ \gamma(t) = (\cos t , \sin t , - \cos t - \sin t ) .\]
L'integrale della $1$-forma $\omega$ sulla $1$-superficie $\gamma$ è definito come
\[ \int_\gamma \omega = \int_{[0 , 2 \pi]} \textbf{F}(\gamma(s)) \cdot \gamma'(s) \text{ d} s, \]
dove \(\textbf{F} \) è il campo vettoriale associato alla forma $\omega$, nel tuo caso \(\textbf{F} = (x, y , z)\).
Si tratta ora di svolgere i conti.
\[ \gamma : [0, 2 \pi] \to \mathbb{R}^3 \]
\[ \gamma(t) = (\cos t , \sin t , - \cos t - \sin t ) .\]
L'integrale della $1$-forma $\omega$ sulla $1$-superficie $\gamma$ è definito come
\[ \int_\gamma \omega = \int_{[0 , 2 \pi]} \textbf{F}(\gamma(s)) \cdot \gamma'(s) \text{ d} s, \]
dove \(\textbf{F} \) è il campo vettoriale associato alla forma $\omega$, nel tuo caso \(\textbf{F} = (x, y , z)\).
Si tratta ora di svolgere i conti.
Ah cioè in pratica se ho delle equazioni nel dominio devo parametrizzarle e la loro parametrizzazione sarebbe la mia $ gamma (t) $ ? Infatti (cos t, sin t) è la parametrizzazione di $ x^2+y^2=1 $, che è la circonferenza di raggio 1 e centro nell'origine. Ma - cos t-sint è la parametrizzazione di x+y+z=0? Come l'hai trovata? E la condizione $ z>=0$ come la uso?
Scusami se faccio troppe domande, ma non avevo mai fatto esercizi del genere, di solito negli esercizi non c'era nessun dominio e mi dava subito $ gamma (t) $..
Scusami se faccio troppe domande, ma non avevo mai fatto esercizi del genere, di solito negli esercizi non c'era nessun dominio e mi dava subito $ gamma (t) $..
Scherzavo forse ho capito da sola! In pratica ho che cos t sarebbe x e sin t sarebbe y, quindi sostituisco i valori nell'equazione x+y+z=0 per trovare la z, quindi z=-x-y -> z=-cost-sint
"Bunnyy":
E la condizione $z>=0$ come la uso?
Premesso che l'intersezione tra il cilindro $[x^2+y^2=1]$ e il piano $[x+y+z=0]$ è una curva chiusa, la condizione $[z gt= 0]$ impone di considerarne solo una parte (una curva aperta).
Ah giusto, ora ho capito!
Adesso provo a risolverlo..
$ int_(0)^(2pi ) cos t (-sint) dt + sin t costdt+ (-sint-cost)(sint-cost)dt $ =
=$ -1/2sin^2t |$ tra 0 e 2 $ pi $ + $1/2sin^2t| $tra 0 e 2 $pi$ + $sintcos t |$ tra 0 e 2$pi$ = 0
Spero di non aver fatto errori
Adesso provo a risolverlo..
$ int_(0)^(2pi ) cos t (-sint) dt + sin t costdt+ (-sint-cost)(sint-cost)dt $ =
=$ -1/2sin^2t |$ tra 0 e 2 $ pi $ + $1/2sin^2t| $tra 0 e 2 $pi$ + $sintcos t |$ tra 0 e 2$pi$ = 0
Spero di non aver fatto errori
Chiedo scusa, la formula che ho scritto nel post precedente non tiene conto della condizione $z \ge 0$ (l'avevo dimenticata). Bisognerà cambiare il dominio della parametrizzazione $\gamma$ e dunque gli estremi di integrazione...
EDIT: Più precisamente dovrai trovare i valori del parametro $t \in [0, 2 \pi]$ tali che $\cos t + \sin t \le 0$ (quindi bisogna risolvere questa disequazione trigonometrica).
EDIT: Più precisamente dovrai trovare i valori del parametro $t \in [0, 2 \pi]$ tali che $\cos t + \sin t \le 0$ (quindi bisogna risolvere questa disequazione trigonometrica).
Ahh okay, quindi tra 3/4 π e 7/4 π ?
Quindi l'integrale sarebbe come ho fatto sopra ma sostituendo questi nuovi estremi ma comunque viene 0 lo stesso..
Quindi l'integrale sarebbe come ho fatto sopra ma sostituendo questi nuovi estremi ma comunque viene 0 lo stesso..
Gli estremi mi sembrano corretti. Se il calcolo delle primitive è giusto, tutto OK!
perfetto, grazie mille! 
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