Integrale di una 2-forma su insieme orientato

[marcook1]

Ho provato a fare un esercizio ma non mi viene il risultato magari sbaglio qualcosa nel procedimento...ve lo scrivo di seguito:

Esercizio: calcolare l'integrale di $\omega=(arctan(x^2))dx^^dy+ydy^^dz$ su $\partial^+U$ dove $U=(x^2+y^2/4<=1)$

[Risultato= 0]

Ho parametrizzato U in questo modo: $r_t=(cost)i+2(sint)j+0k$ con $tin[0,2pi]$

L'orientazione naturale di U è antioraria, e valutando il vettore tangente $r(t)'=(-sint,2cost)$ per $t=0$ avremo che $r(t)'=(0,2)$ che ha la stessa orientazione di U. Quindi:

$\int_{\partial^+U} \omega=\int_{U} \omega =\int_{0}^{2pi} arctan(cos^2x)(0)+(2sint)(-sint) dt=\int_{0}^{2pi} (-2sin^2t) dt=[-t+sintcost]_0 ^(2pi)=-2pi$

Dove ho sbagliato?

Grazie mille per l'aiuto

[marcook1]

Ragionandoci forse ho capito dove ho sbagliato...e vorrei una conferma ed una risposta alla mia domanda finale.

Dato che $\omega$ ha come dominio $RR^3$ possiamo utilizzare il teorema di Stokes:

$\int_{\partial^+U} \omega = \int_{U} d\omega$

Calcolando quindi il differenziale esterno ottengo:
$f1=arctanx^2$ $f2=0$ $f3=y$

$d\omega=((delf_1)/(delz)+(delf_2)/(dely)+(delf_3)/(delx))=(0+0+0)dx^^dy^^dz=0$

Quindi l'integrale verrebbe 0

Ora la mia domanda è: quando mi accorgo se conviene applicare il teorema di Stokes nel calcolo di un integrale oppure no???

[stefano_89]

Così su 2 piedi non saprei dirti se il tuo ragionamento è giusto, in quanto fino ad ora, ho sempre trovato esercizi che richiedevano espressamento l' uso del teorema di Stokes per trovare il flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Ora non so bene cosa si intenda con il calcolare il valore di quella forma differenziale attraverso U, anche perchè non le ho mai viste scritte in quella forma, però penso che il tuo ragionamento possa andare..

[marcook1]

Già...questo professore le scrive così