Integrale di un prodotto di triangoli...
Salve a tutti,
non mi presento al forum perchè non sono un utente nuovo, sono CyberCrasher. Ci sono stati dei problemi col mio account e gli admin stanno cercando di risolvere, quindi nel frattempo mi sono registrato di nuovo (come mi è stato suggerito di fare dagli stessi admin).
Ho svolto un esercizio del mio libro e applicando due modi diversi di procedere mi vengono fuori due risultati, uno corretto, l'altro no. Vorrei capire perchè il secondo metodo non è corretto. Ci sbatto la testa da 2 ore ma niente da fare quindi mi affido a voi
Il problema consiste nel calcolare l'integrale del prodotto dei 2 triangoli. In realtà c'è 1/6 fuori dall'integrale ma questo non mi sembra rilevante ai fini del mio problema.
Nel primo metodo (quello corretto) ho deciso (visto la simmetria) di prendere solo la parte positiva di ciascuna funzione (quindi la metà di ognuna di esse).
Nel secondo metodo invece provo a svilupparlo su tutto il dominio comune (da -1 a +1).. perchè il secondo metodo non va?
non mi presento al forum perchè non sono un utente nuovo, sono CyberCrasher. Ci sono stati dei problemi col mio account e gli admin stanno cercando di risolvere, quindi nel frattempo mi sono registrato di nuovo (come mi è stato suggerito di fare dagli stessi admin).
Ho svolto un esercizio del mio libro e applicando due modi diversi di procedere mi vengono fuori due risultati, uno corretto, l'altro no. Vorrei capire perchè il secondo metodo non è corretto. Ci sbatto la testa da 2 ore ma niente da fare quindi mi affido a voi
Il problema consiste nel calcolare l'integrale del prodotto dei 2 triangoli. In realtà c'è 1/6 fuori dall'integrale ma questo non mi sembra rilevante ai fini del mio problema.
Nel primo metodo (quello corretto) ho deciso (visto la simmetria) di prendere solo la parte positiva di ciascuna funzione (quindi la metà di ognuna di esse).
Nel secondo metodo invece provo a svilupparlo su tutto il dominio comune (da -1 a +1).. perchè il secondo metodo non va?
Risposte
Nel primo risultato che ritieni "corretto" c'è un errore...
Lafunzione integranda è:
$2*(1-f*2/3)*(1-f)$ e non $2*(1-f*2/3)*2*(1-f)$.
In questo modo i due risultati coincidono... Ciao ciao!!!
Lafunzione integranda è:
$2*(1-f*2/3)*(1-f)$ e non $2*(1-f*2/3)*2*(1-f)$.
In questo modo i due risultati coincidono... Ciao ciao!!!
mmm.. ma non sto moltiplicando metà di una funzione per metà dell'altra funzione? Dovrebbe essere corretto il primo anche perchè il libro dà quel risultato.. a sto punto è il libro in torto..
Onestamente io già non mi trovo con la definizione della funzione triangolo. Per me essa è definita nella maniera seguente:
[tex]\Lambda\left(\frac{t}{T}\right)=\begin{cases}
1-|\frac{t}{T}|& \text{se } |\frac{t}{T}|<1\\
0 & \text{altrove}
\end{cases}[/tex]
In base a questa, il primo triangolo è compreso nell'intervallo [tex][-3,3][/tex] e il secondo invece in [tex][-2,2][/tex] (ovviamente con pendenza delle rette differente da quella che hai disegnato tu). Inoltre il prodotto è pari e quindi posso raddoppiare l'area calcolata solo per [tex]f<0[/tex]. Così facendo si ha:
[tex]\displaystyle\frac{2}{6}\int_{-2}^{0}\left(1+\frac{t}{3}\right)\left(1+\frac{t}{2}\right)\text{d}t=\frac{1}{3}\int_{-2}^{0}1+\frac{5t}{6}+\frac{t^2}{6}\text{d}t=\frac{1}{3}\left[t+\frac{5t^2}{12}+\frac{t^3}{18}\right]_{-2}^{0}=\frac{1}{3}\left(2-\frac{5}{3}+\frac{4}{9}\right)=\frac{7}{27}[/tex]
Nel tuo caso la differenza potrebbe essere nella definizione delle funzioni stesse.
[tex]\Lambda\left(\frac{t}{T}\right)=\begin{cases}
1-|\frac{t}{T}|& \text{se } |\frac{t}{T}|<1\\
0 & \text{altrove}
\end{cases}[/tex]
In base a questa, il primo triangolo è compreso nell'intervallo [tex][-3,3][/tex] e il secondo invece in [tex][-2,2][/tex] (ovviamente con pendenza delle rette differente da quella che hai disegnato tu). Inoltre il prodotto è pari e quindi posso raddoppiare l'area calcolata solo per [tex]f<0[/tex]. Così facendo si ha:
[tex]\displaystyle\frac{2}{6}\int_{-2}^{0}\left(1+\frac{t}{3}\right)\left(1+\frac{t}{2}\right)\text{d}t=\frac{1}{3}\int_{-2}^{0}1+\frac{5t}{6}+\frac{t^2}{6}\text{d}t=\frac{1}{3}\left[t+\frac{5t^2}{12}+\frac{t^3}{18}\right]_{-2}^{0}=\frac{1}{3}\left(2-\frac{5}{3}+\frac{4}{9}\right)=\frac{7}{27}[/tex]
Nel tuo caso la differenza potrebbe essere nella definizione delle funzioni stesse.
Ti ringrazio per avermi spiegato esaustivamente il tuo metodo. Effettivamente il risultato del libro è corretto. Ho provato ad utilizzare il metodo della convoluzione (2 pagine di esercizio) e alla fine mi esce fuori 7/27 quindi è confermato il risultato.
L'unica cosa che non riesco a capire è cosa c'è che non va nel metodo 2 che ho postato.
Lo studio del triangolo l'ho sempre fatto così e non ho mai avuto problemi di questo tipo. Essendo uno studente faccio già fatica ad imparare un metodo e quindi non vorrei cambiare. Inoltre per lo studio che facciamo noi, effettuiamo sempre trasformate di fourier quindi il valore assoluto è, come ci insegna il nostro prof, assolutamente da evitare.
Sareste così gentili da ricontrollare il mio secondo metodo spiegandomi perchè non va bene?
L'unica cosa che non riesco a capire è cosa c'è che non va nel metodo 2 che ho postato.
Lo studio del triangolo l'ho sempre fatto così e non ho mai avuto problemi di questo tipo. Essendo uno studente faccio già fatica ad imparare un metodo e quindi non vorrei cambiare. Inoltre per lo studio che facciamo noi, effettuiamo sempre trasformate di fourier quindi il valore assoluto è, come ci insegna il nostro prof, assolutamente da evitare.
Sareste così gentili da ricontrollare il mio secondo metodo spiegandomi perchè non va bene?
Potresti scrivere come definisci la funzione triangolo? Da quel che vedo i [tex]2[/tex] sembrano venire fuori dalla definizione che ne dà il libro. In altre parole, mentre nella definizione che ho utilizzato io il triangolo ha base pari a [tex]2T[/tex] e altezza unitaria, nel tuo caso sembra che il triangolo abbia base pari a [tex]T[/tex] e altezza doppia.
il triangolo è composto da 2 rette che si intersecano. Quindi considero le due rette indicando, per ognuna di esse, il range di t su cui operano.
è come se definissi il secondo triangolo così:
0 per f>1 e per f<-1
1-f per 0<=f<=1
1+f per -1<=f<0
è come se definissi il secondo triangolo così:
0 per f>1 e per f<-1
1-f per 0<=f<=1
1+f per -1<=f<0
Si ma il range, come vedi dalla definizione che ne ho dato io di funzione triangolo, non è lo stesso. Per questo mi sembra che il problema sia contenuto nella definizione che si dà di funzione triangolo. Una funzione [tex]\Lambda(\frac{t}{T})[/tex] (con [tex]T[/tex] generico) come la disegneresti?
ma come è sbagliata? tri(f/2) è un triangolo di durata 2 centrato in 0.
Quindi penso siamo d'accordo sul disegno che ho fatto.
Per quanto riguarda la funzione basti osservare che nell'intervallo da -1 a 0 la funzione può essere descritta come 1+f infatti in -1 fa 0 e in 0 fa 1 e quindi è esattamente la retta 1+f considerata solo nell'intervallo -1;0. Lo stesso ragionamento identico lo si può fare con la seconda parte.
Dubito che sia sbagliata la mia definizione perchè ho fatto un mare di esercizi così e riescono tutti. Inoltre questo tipo di descrizione della funzione mi viene fornita dal libro che, come ho già detto, la preferisce per il contesto di utilizzo che ne facciamo.
Quindi penso siamo d'accordo sul disegno che ho fatto.
Per quanto riguarda la funzione basti osservare che nell'intervallo da -1 a 0 la funzione può essere descritta come 1+f infatti in -1 fa 0 e in 0 fa 1 e quindi è esattamente la retta 1+f considerata solo nell'intervallo -1;0. Lo stesso ragionamento identico lo si può fare con la seconda parte.
Dubito che sia sbagliata la mia definizione perchè ho fatto un mare di esercizi così e riescono tutti. Inoltre questo tipo di descrizione della funzione mi viene fornita dal libro che, come ho già detto, la preferisce per il contesto di utilizzo che ne facciamo.
Non c'è bisogno di spiegarmi quello che hai scritto.
Se ti ho chiesto di darmi la tua definizione formale di funzione triangolo (che ti faccio notare tu non mi hai ancora dato) è per capire in che modo il tuo libro stia disegnando tali funzioni. Per me (e lo vedi dalla definizione) [tex]\Lambda(\frac{t}{2})[/tex] è un triangolo di durata [tex]4[/tex] (e non [tex]2[/tex] come te), in quanto compreso tra [tex][-2,2][/tex], e ampiezza unitaria.
Se ti ho chiesto di darmi la tua definizione formale di funzione triangolo (che ti faccio notare tu non mi hai ancora dato) è per capire in che modo il tuo libro stia disegnando tali funzioni. Per me (e lo vedi dalla definizione) [tex]\Lambda(\frac{t}{2})[/tex] è un triangolo di durata [tex]4[/tex] (e non [tex]2[/tex] come te), in quanto compreso tra [tex][-2,2][/tex], e ampiezza unitaria.
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