Integrale di un esponenziale complesso

[Riccardo Desimini]

L'integrale notevole
\[ \int e^{\alpha x}\, \text{d}x = \frac{e^{\alpha x}}{\alpha} + C \]
vale anche se \( \alpha \in \mathbb{C} \)?

A quanto pare è così, ma avendo visto questo integrale notevole solo in \( \mathbb{R} \) non riesco a convincermi del perché debba funzionare anche su \( \mathbb{C} \).

Chi mi sa aiutare?

[Obidream]

Si può provare a derivare $F(x)=e^(\alphax)/\alpha+C$ e vedere se torna l'integranda

Ad esempio si può mostrare che la derivata di $g(x)=e^(\lambdax)$ ($\lambda in CC)$ è effettivamente $g'(x)=\lambda*e^(\lambdax)$ ed usare la cosa per dimostrare quel risultato...

Infatti scrivendo il numero complesso come $\lambda=\alpha+i\beta$ si ottiene:

$g(x)=e^(\alphax)*e^(i\betax)$

$g(x)=e^(\alphax)*(cos\betax+isin\betax)$

Quindi se $u(x)=e^(\alphax)cos\betax$ e $v(x)=e^(\alphax)sin\betax$ la mia funzione si può scrivere in questo modo:

$g(x)=u(x)+iv(x)$

Dove $u,g in C^(+oo)$ su $RR$ quindi è lecito cercare la derivata prima...

$De^(\lambdax)=D(e^\alphax*e^(i\betax))=D(e^\alphax)*e^(i\betax)+D(e^(i\betax))e^(\alphax)$

Adesso la $D(e^(i\betax))=D((cos\betax+isin\betax))=-\betasin\betax+i\betacos\betax$

Ricordando che siamo in $CC$ il primo $-$ è uguale a $i^2$ quindi mettendo in evidenza:

$i\beta(cos\betax+isin\betax)=i\betae^(i\betax)$

Quindi tornando a:

$D(e^(\lambdax))=\alphae^(\alphax)e^(i\betax)+i\betae^(\alphax)e^(i\betax)$

Che si può riscrivere come:

$\alphae^(\alpha+i\betax)+i\betae^(\alpha+i\betax)$

$(\alpha+i\beta)e^(\alpha+i\betax)$ ovvero $\lambda*e^(\lambdax)$ che è quello che avevamo ipotizzato

[Riccardo Desimini]

Perfetto, allora non era solo una mia fisima quella di richiedere una dimostrazione di questo fatto.

Grazie.