Integrale di Tangente
Ciao, ho qualche problema a risolvere il seguente esercizio:
$int_0^1 tan^3 x dx$
Procedo con il metodo per sostituzione: $int tan^3 x dx$
$y=tanx -> dy=1+tan^2 x dx$
$int -1+1+tanx*tan^2 x dx $
non riesco a sostituire il dy
---
Per chiarezza ho svolto anche il seguente esercizio:
$int tan^2 (5x) dx$ dove effettuando opportune sostituzioni, risulta correttamente come il risultato del libro $((tan 5x)/5 -x + c)$.
Ma provando a svolgerlo per sostituzione $y=tanx$ mi risulta $((tan 5x)/5 + c)$ e non vedo dove sbaglio, procedimento:
grazie per qualsiasi suggerimento, ciao
edit: rimosso passaggio errato
$int_0^1 tan^3 x dx$
Procedo con il metodo per sostituzione: $int tan^3 x dx$
$y=tanx -> dy=1+tan^2 x dx$
$int -1+1+tanx*tan^2 x dx $
non riesco a sostituire il dy
---
Per chiarezza ho svolto anche il seguente esercizio:
$int tan^2 (5x) dx$ dove effettuando opportune sostituzioni, risulta correttamente come il risultato del libro $((tan 5x)/5 -x + c)$.
Ma provando a svolgerlo per sostituzione $y=tanx$ mi risulta $((tan 5x)/5 + c)$ e non vedo dove sbaglio, procedimento:
grazie per qualsiasi suggerimento, ciao
edit: rimosso passaggio errato
Risposte
Nel primo integrale sbagli quando sostituisci:
\[\int (-1+1+\tan x\cdot\tan^2 x)\ dx \neq \int (-1+y)\ dy\]
se, come hai posto tu, $y=\tan x$...c'è un prodotto tra $\tan x$ e $\tan^2 x$. Probabilmente è anche per questo che usando la sostituzione sbagli il secondo integrale. Prova a sostituire $\tan x$ al posto di $y$ nell'integrale a sinistra e ti accorgi dell'errore.
Ciao
EDIT: ho guardato il procedimento nello svolgere il secondo int. Fai anche lì lo stesso errore!
\[\int (-1+1+\tan x\cdot\tan^2 x)\ dx \neq \int (-1+y)\ dy\]
se, come hai posto tu, $y=\tan x$...c'è un prodotto tra $\tan x$ e $\tan^2 x$. Probabilmente è anche per questo che usando la sostituzione sbagli il secondo integrale. Prova a sostituire $\tan x$ al posto di $y$ nell'integrale a sinistra e ti accorgi dell'errore.
Ciao
EDIT: ho guardato il procedimento nello svolgere il secondo int. Fai anche lì lo stesso errore!
"Plepp":
Nel primo integrale sbagli quando sostituisci:
\[\int (-1+1+\tan x\cdot\tan^2 x)\ dx \neq \int (-1+y)\ dy\]
se, come hai posto tu, $y=\tan x$...c'è un prodotto tra $\tan x$ e $\tan^2 x$. Probabilmente è anche per questo che usando la sostituzione sbagli il secondo integrale. Prova a sostituire $\tan x$ al posto di $y$ nell'integrale a sinistra e ti accorgi dell'errore.
Ciao
EDIT: ho guardato il procedimento nello svolgere il secondo int. Fai anche lì lo stesso errore!
grazie mille per aver risposto!
in quel passaggio (essendo $dy=1+tan^2 x$) ho raccolto in questo modo: $-1+(1+tan^2 x)*tan x$
l'errore è stato quello di includere l'uno nel prodotto (giustamente $(1+tan^2 x)*tan x != tan^2 x*tan x $).
Ma ora come faccio a sostituire dy a dx?
vado a controllare il secondo, magari mi è più chiaro...
non riesco a sostituire il $dy$
ho provato anche ad usare $D(tanx)=1/(cos^2x)$ ma si complica troppo.
Ho bisogno di un suggerimento per superare questo passaggio:
$y=tanx -> dy=1+tan^2x dx, int tanx*tan^2 x dx $
grazie
ho provato anche ad usare $D(tanx)=1/(cos^2x)$ ma si complica troppo.
Ho bisogno di un suggerimento per superare questo passaggio:
$y=tanx -> dy=1+tan^2x dx, int tanx*tan^2 x dx $
grazie
Poni $t=\tan (x/2)$ da cui $x=2 \arctan t$, $dx=\frac{2}{1+t^2}\ dt$. In questo modo
\[\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2} \qquad \qquad \cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\]
Ti viene un macello però puoi usare altre sostituzioni. Alla fine risolvi l'integrale di una funzione razionale di $t$.
Al momento non mi viene nient'altro in mente. Se ho tempo dopo provo a farlo!
\[\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2} \qquad \qquad \cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\]
Ti viene un macello però puoi usare altre sostituzioni. Alla fine risolvi l'integrale di una funzione razionale di $t$.
Al momento non mi viene nient'altro in mente. Se ho tempo dopo provo a farlo!
"Plepp":
Poni $t=\tan (x/2)$ da cui $x=2 \arctan t$, $dx=\frac{2}{1+t^2}\ dt$. In questo modo
\[\sin x=\dfrac{2t}{1+t^2} \qquad \qquad \cos x=\dfrac{1-t^2}{1+t^2}\]
Ti viene un macello però puoi usare altre sostituzioni. Alla fine risolvi l'integrale di una funzione razionale di $t$.
Al momento non mi viene nient'altro in mente. Se ho tempo dopo provo a farlo!
ok grazie, il suggerimento è $t = tan x$
provo a svolgerlo in qualche modo.
Lascia stare quel che ho detto prima...
Poni $t=\tan x$ da cui $x=\arctan t$ e quindi $dx=1/(1+t^2)dt$. Quindi hai
\[\int \tan^3 x\ dx= \int t^3\ \dfrac{1}{1+t^2}\ dt\]
che è facile...il metodo di prima va bene ma complica inutilmente le cose...è molto più conveniente fare cosi.
Osserva che la sostituzione è valida dal momento che devi integrare su $[0,1]$, quindi $\forall x$ di tale intervallo è vero che se $t=\tan x$ allora $x=\arctan t$
Poni $t=\tan x$ da cui $x=\arctan t$ e quindi $dx=1/(1+t^2)dt$. Quindi hai
\[\int \tan^3 x\ dx= \int t^3\ \dfrac{1}{1+t^2}\ dt\]
che è facile...il metodo di prima va bene ma complica inutilmente le cose...è molto più conveniente fare cosi.
Osserva che la sostituzione è valida dal momento che devi integrare su $[0,1]$, quindi $\forall x$ di tale intervallo è vero che se $t=\tan x$ allora $x=\arctan t$
Ciao!
Eccolo:
$cdots=inttgx[(1+tg^2x)-1]dx=inttgx(1+tg^2x)dx-int(senx)/(cosx)dx=cdots=1/2tg^2x-log|cosx|+cost$.
Saluti dal web.
"12Aquila":
non riesco a sostituire il $dy$
ho provato anche ad usare $D(tanx)=1/(cos^2x)$ ma si complica troppo.
Ho bisogno di un suggerimento per superare questo passaggio:
$y=tanx -> dy=1+tan^2x dx, int tanx*tan^2 x dx $
grazie
Eccolo:
$cdots=inttgx[(1+tg^2x)-1]dx=inttgx(1+tg^2x)dx-int(senx)/(cosx)dx=cdots=1/2tg^2x-log|cosx|+cost$.
Saluti dal web.
Grazie Mille ad entrambi
ho svolto tutti i calcoli ed il risultato mi viene come il tuo tranne per l'ultimo coseno. Ecco cosa ho fatto:
$inttgx(1+tg^2x)dx-int(tanx)dx = int(y dy) - int tanx dx$
risolvendoli separatamente:
$int(y dy) = 1/2 tan^2 x$
$- int sinx/cosx -> t=cosx -> dt=-sinx dx$ quindi $-> + int 1/t dt = log |t|+c = log|cosx| + c$
il mio risultato finale è: $1/2 tan^2 x + log|cosx| + c$
non mi sembra di vedere errori, potresti controllare l'ultimo coseno ed il segno dell'ultimo integrale?
grazie mille, ciao
"theras":
Eccolo:
$cdots=inttgx[(1+tg^2x)-1]dx=inttgx(1+tg^2x)dx-int(senx)/(cosx)dx=cdots=1/2tg^2x-log|cosx|+cost$.
Saluti dal web.
ho svolto tutti i calcoli ed il risultato mi viene come il tuo tranne per l'ultimo coseno. Ecco cosa ho fatto:
$inttgx(1+tg^2x)dx-int(tanx)dx = int(y dy) - int tanx dx$
risolvendoli separatamente:
$int(y dy) = 1/2 tan^2 x$
$- int sinx/cosx -> t=cosx -> dt=-sinx dx$ quindi $-> + int 1/t dt = log |t|+c = log|cosx| + c$
il mio risultato finale è: $1/2 tan^2 x + log|cosx| + c$
non mi sembra di vedere errori, potresti controllare l'ultimo coseno ed il segno dell'ultimo integrale?
grazie mille, ciao
Si,hai ragione:
m'è scappato un segno nella fretta di scrivere!!
Saluti dal web.
m'è scappato un segno nella fretta di scrivere!!
Saluti dal web.
"theras":
Si,hai ragione:
m'è scappato un segno nella fretta di scrivere!!
Saluti dal web.
perfetto! grazie ciao
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