Integrale di superficie per Stokes
Ciao a tutti, sto cercando di calcolare l'integrale di superficie fra
x + y + z = 2
e i piani definiti da
x = 0; y = 0; z = 0
per calcolare il flusso di
F = y, -x, z attraverso la superficie descritta sopra.
Come dovrei procedere nella parametrizzazione del piano risultante? Ho provato a uguagliare a 0 x, y, e z in equazioni separate, ma penso che la soluzione sia un'altra.. qualche idea?
x + y + z = 2
e i piani definiti da
x = 0; y = 0; z = 0
per calcolare il flusso di
F = y, -x, z attraverso la superficie descritta sopra.
Come dovrei procedere nella parametrizzazione del piano risultante? Ho provato a uguagliare a 0 x, y, e z in equazioni separate, ma penso che la soluzione sia un'altra.. qualche idea?
Risposte
penso che tu intenda la superficie del solido delimitato dai piani dati
la superficie è quella di una piramide di vertici $(0,0,0);(2,0,0);(0,2,0),(0,0,2)$
tre facce stanno sui piani $x=0;y=0;z=0$ e l'altra sul piano $x+y+z=2$
ad esempio,ti parametrizzo l'ultima
$P(x,y)=(x,y,2-x-y)$
$x in [0,2]; y in [0,2-x]$
la superficie è quella di una piramide di vertici $(0,0,0);(2,0,0);(0,2,0),(0,0,2)$
tre facce stanno sui piani $x=0;y=0;z=0$ e l'altra sul piano $x+y+z=2$
ad esempio,ti parametrizzo l'ultima
$P(x,y)=(x,y,2-x-y)$
$x in [0,2]; y in [0,2-x]$
Ok ho capito la rappresentazione della superficie, ma non riesco ad impostare l'integrale di superficie
∫ F · dr
In ogni altro esercizio che ho svolto nel mio testo si arriva ad una rapida dimostrazione del flusso calcolato con il rotore, perché la superficie è parametrizzabile in coordinate polari (cilindri, sezioni di sfere etc.) e applico la seguente formula
F(r(t)) · r′(t)
per arrivare ad un valore integrabile da 0 a 2π.
In questo caso non so proprio come procedere, non trovo esempi simili da nessuna parte... Dovrei inserire le parametrizzazioni delle 4 facce della piramide in r e calcolare F(r(t)) ?
Inoltre l'orientazione n punta sull'origine, questo vuol dire che devo calcolare soltanto il flusso che passa per x + y + z = 2
o sbaglio?
Grazie per la disponibilità, sono veramente disorientato su questo esercizio
∫ F · dr
In ogni altro esercizio che ho svolto nel mio testo si arriva ad una rapida dimostrazione del flusso calcolato con il rotore, perché la superficie è parametrizzabile in coordinate polari (cilindri, sezioni di sfere etc.) e applico la seguente formula
F(r(t)) · r′(t)
per arrivare ad un valore integrabile da 0 a 2π.
In questo caso non so proprio come procedere, non trovo esempi simili da nessuna parte... Dovrei inserire le parametrizzazioni delle 4 facce della piramide in r e calcolare F(r(t)) ?
Inoltre l'orientazione n punta sull'origine, questo vuol dire che devo calcolare soltanto il flusso che passa per x + y + z = 2
o sbaglio?
Grazie per la disponibilità, sono veramente disorientato su questo esercizio
se per ogni faccia si considera come normale quella esterna ,si può applicare anche il teorema della divergenza
altrimenti ,metodo diretto,per ogni faccia il flusso è dato da $ int int_(D) [X(u,v)J_1+Y(u,v)J_2+Z(u,v)J_3]du dv $
essendo $P(u,v)$ la parametrizzazione della superficie di dominio $D$,$X,Y,Z$ le componenti del campo vettoriale e $J_1,J_2,J_3$ le componenti del versore normale
per la faccia della quale ho parlato nel post precedente,posto $f(x,y)=2-x-y$,si ha
$J_1=-f_x=1;J_2=-f_y=1,J_3=1$ e quindi il flusso vale
$ int_(0)^(2) int_(0)^(2-x) [ycdot1-xcdot1+(2-x-y)cdot1] dxdy $
allo stesso modo si ragiona per le altre facce
altrimenti ,metodo diretto,per ogni faccia il flusso è dato da $ int int_(D) [X(u,v)J_1+Y(u,v)J_2+Z(u,v)J_3]du dv $
essendo $P(u,v)$ la parametrizzazione della superficie di dominio $D$,$X,Y,Z$ le componenti del campo vettoriale e $J_1,J_2,J_3$ le componenti del versore normale
per la faccia della quale ho parlato nel post precedente,posto $f(x,y)=2-x-y$,si ha
$J_1=-f_x=1;J_2=-f_y=1,J_3=1$ e quindi il flusso vale
$ int_(0)^(2) int_(0)^(2-x) [ycdot1-xcdot1+(2-x-y)cdot1] dxdy $
allo stesso modo si ragiona per le altre facce
Perfetto.
Le altre tre parametrizzazioni sono:
(0, y, z)
y∈ [0,2]; z∈[0,2]
(x, 0, z)
x∈[0,2]; z∈[0,2]
(x, y, 0)
x∈[0,2]; y∈[0,2]
E poi sommo i quattro integrali doppi che ho calcolato e ottengo il flusso totale, giusto?
Le altre tre parametrizzazioni sono:
(0, y, z)
y∈ [0,2]; z∈[0,2]
(x, 0, z)
x∈[0,2]; z∈[0,2]
(x, y, 0)
x∈[0,2]; y∈[0,2]
E poi sommo i quattro integrali doppi che ho calcolato e ottengo il flusso totale, giusto?
non esattamente
ad esempio ,la faccia che si trova nel piano $z=0$ si parametrizza con
$P(x,y)=(x,y,0)$,$x in [0,2],y in[0,2-x]$
ad esempio ,la faccia che si trova nel piano $z=0$ si parametrizza con
$P(x,y)=(x,y,0)$,$x in [0,2],y in[0,2-x]$
Allora.. ho svolto l'esercizio con il rotore e con gli integrali per verificare la corrispondenza...
Sto considerando il campo F = -y, x, -z.
Con il rotore, che risulta
(0, 0, 2).
Il flusso vale 4 (o -4).
Considerando x + y + z = 2, usando l'integrale che hai impostato:
$ int_(0)^(2) int_(0)^(2-x) [-ycdot1+xcdot1-(2-x-y)cdot1] dxdy $
Ho impostato x = 0 così:
$ y in [0,2],z in[0,2-y] $
$ int_(0)^(2) int_(0)^(2-y) [-ycdot0+xcdot1-(2-y)cdot1] dydz $
E y = 0 così:
$ x in [0,2],z in[0,2-x] $
$ int_(0)^(2) int_(0)^(2-x) [-ycdot1+xcdot0-(2-x)cdot1] dxdz $
Mentre z = 0 l'ho impostato così:
$ int_(0)^(2) int_(0)^(2-x) [(y)cdot1-(2-x-y)cdot1] dxdy $
Perché ho considerato $ f(x,y)=2-x $
e
$ J_1=-f_x=1; J_2=-f_y=0, J_3=1 $ .
Ma i risultati non corrispondono... ho sbagliato qualche integrale? Sono incerto su z = 0.
Grazie ancora
Sto considerando il campo F = -y, x, -z.
Con il rotore, che risulta
(0, 0, 2).
Il flusso vale 4 (o -4).
Considerando x + y + z = 2, usando l'integrale che hai impostato:
$ int_(0)^(2) int_(0)^(2-x) [-ycdot1+xcdot1-(2-x-y)cdot1] dxdy $
Ho impostato x = 0 così:
$ y in [0,2],z in[0,2-y] $
$ int_(0)^(2) int_(0)^(2-y) [-ycdot0+xcdot1-(2-y)cdot1] dydz $
E y = 0 così:
$ x in [0,2],z in[0,2-x] $
$ int_(0)^(2) int_(0)^(2-x) [-ycdot1+xcdot0-(2-x)cdot1] dxdz $
Mentre z = 0 l'ho impostato così:
$ int_(0)^(2) int_(0)^(2-x) [(y)cdot1-(2-x-y)cdot1] dxdy $
Perché ho considerato $ f(x,y)=2-x $
e
$ J_1=-f_x=1; J_2=-f_y=0, J_3=1 $ .
Ma i risultati non corrispondono... ho sbagliato qualche integrale? Sono incerto su z = 0.
Grazie ancora
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