Integrale di superficie
Ciao a tutti!
Ho un problema con questo esercizio:
"Essendo $S$ la superficie della regione racchiusa tra la sfera $x^2+y^2+z^2=2$ ed il paraboloide $z=x^2+y^2$ calcolare l'integrale di superficie $int z dS$ ."
Ho provato in tutti i modi, ma non ne vengo a capo.
Non riesco a capire bene se sia il caso di parametrizzare oppure no (se si, come?).
Io ho provato in questo modo. Ho descritto la superficie $S = {(x,y) \epsilon RR : x^2+y^2<=z<=sqrt(2-x^2-y^2)}$.
Posso quindi scrivere la superficie in forma esplicita come $z=sqrt(2-x^2-y^2)-x^2-y^2$
Passando alle derivate parziali:
$(delf)/(delx) = -x/sqrt(2-x^2-y^2) -2x$ e $(delf)/(dely) = -y/sqrt(2-x^2-y^2) -2y$
Dalla formula: $sqrt(1+((delf)/(delx))^2 + ((delf)/(dely))^2)$ sono andato a integrare così:
$int int_A [sqrt(2-x^2-y^2)-x^2-y^2]sqrt(1+((delf)/(delx))^2 + ((delf)/(dely))^2)$
Passando in coordinate polari ho posto che $0<=\theta<=2\pi$ e $0<=\rho<=1$, ma non mi viene niente.
Il fatto è che non ho ben capito se sia il caso di parametrizzare o no, e nel caso in cui sia necessario, come parametrizzare, anche perchè qui ho due solidi.
Vi ringrazio.
P.S.
Ho omesso molti calcoli per ragioni di tempo, perdonatemi.
Ho un problema con questo esercizio:
"Essendo $S$ la superficie della regione racchiusa tra la sfera $x^2+y^2+z^2=2$ ed il paraboloide $z=x^2+y^2$ calcolare l'integrale di superficie $int z dS$ ."
Ho provato in tutti i modi, ma non ne vengo a capo.
Non riesco a capire bene se sia il caso di parametrizzare oppure no (se si, come?).
Io ho provato in questo modo. Ho descritto la superficie $S = {(x,y) \epsilon RR : x^2+y^2<=z<=sqrt(2-x^2-y^2)}$.
Posso quindi scrivere la superficie in forma esplicita come $z=sqrt(2-x^2-y^2)-x^2-y^2$
Passando alle derivate parziali:
$(delf)/(delx) = -x/sqrt(2-x^2-y^2) -2x$ e $(delf)/(dely) = -y/sqrt(2-x^2-y^2) -2y$
Dalla formula: $sqrt(1+((delf)/(delx))^2 + ((delf)/(dely))^2)$ sono andato a integrare così:
$int int_A [sqrt(2-x^2-y^2)-x^2-y^2]sqrt(1+((delf)/(delx))^2 + ((delf)/(dely))^2)$
Passando in coordinate polari ho posto che $0<=\theta<=2\pi$ e $0<=\rho<=1$, ma non mi viene niente.
Il fatto è che non ho ben capito se sia il caso di parametrizzare o no, e nel caso in cui sia necessario, come parametrizzare, anche perchè qui ho due solidi.
Vi ringrazio.
P.S.
Ho omesso molti calcoli per ragioni di tempo, perdonatemi.
Risposte
Ciao Demostene, la mia idea probabilmente non fa il caso tuo, ma se avessi la pazienza di considerarla e dirmi cosa ne pensi te ne sarei grata. Ovviamente mi ri volgo anche agli altri utenti, mi trovo in questo forum per imparare non per insegnare.
Allora ho fatto un disegno e come te ho osservato che il nostro solido è fatto da una parte di paraboloide e da una calotta sferica. Ho pensato anche che se affetto questo solido con piani perpendicolari all'asse z ottengo dei cerchi. Quondo mi sono domandata a quale quota si passa dal paraboloide alla sfera e mi è venuto $z=1/2$. Se interessa posto i calcoli.
Infine ho pensato di trovare la superficie del paraboloide tra $z=0$ e $z=1/2$ e la superficie della calotta sferica tra $z=1/2$ e $z=sqrt2$.
Cosa ne pensi Demostene? Cosa ne pensate altri utenti?
Allora ho fatto un disegno e come te ho osservato che il nostro solido è fatto da una parte di paraboloide e da una calotta sferica. Ho pensato anche che se affetto questo solido con piani perpendicolari all'asse z ottengo dei cerchi. Quondo mi sono domandata a quale quota si passa dal paraboloide alla sfera e mi è venuto $z=1/2$. Se interessa posto i calcoli.
Infine ho pensato di trovare la superficie del paraboloide tra $z=0$ e $z=1/2$ e la superficie della calotta sferica tra $z=1/2$ e $z=sqrt2$.
Cosa ne pensi Demostene? Cosa ne pensate altri utenti?
L'idea di suddividere la superficie da calcolare mi sembra buona.
Penso però che tu abbia fatto un errore di calcolo, infatti:
$\{(x^2+y^2=2-z^2),(x^2+y^2=z):}$
Imponendo ora che i due valori di $x^2+y^2$ coincidano, si ottiene $z^2+z-2=0$,
che da come valori $z_1=1$ e $z_2=-2$
Considerando la porzione della regione contenuta in $z>=0$ si può trascurare il valore $z_2$ e quindi le due superfici si incontreranno sulla circonferenza di equazione $x^2+y^2=1$.
Il valore che tu definisci come $1/2$ penso sia $1$.
Penso però che tu abbia fatto un errore di calcolo, infatti:
$\{(x^2+y^2=2-z^2),(x^2+y^2=z):}$
Imponendo ora che i due valori di $x^2+y^2$ coincidano, si ottiene $z^2+z-2=0$,
che da come valori $z_1=1$ e $z_2=-2$
Considerando la porzione della regione contenuta in $z>=0$ si può trascurare il valore $z_2$ e quindi le due superfici si incontreranno sulla circonferenza di equazione $x^2+y^2=1$.
Il valore che tu definisci come $1/2$ penso sia $1$.
Ciao Demostene grazie di avermi risposto, mi trovo con te, vediamo di scovare l'errore di calcolo:
ci sono con
$z^2+z-2=0$
da cui
$z_(1,2)=(-1+-sqrt(1-4*1*(-2)))/2=(-1+-sqrt(1+8))/2=(-1+-sqrt9)/2=(-1+-3)/2$
$z_1=(-1+3)/2=2/2=1$
$z_2=(-1-3)/2=-4/2=-2$
ora ci sono grazie per avermelo segnalato.
Proviamo a concludere?
ci sono con
$z^2+z-2=0$
da cui
$z_(1,2)=(-1+-sqrt(1-4*1*(-2)))/2=(-1+-sqrt(1+8))/2=(-1+-sqrt9)/2=(-1+-3)/2$
$z_1=(-1+3)/2=2/2=1$
$z_2=(-1-3)/2=-4/2=-2$
ora ci sono grazie per avermelo segnalato.
Proviamo a concludere?
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