Integrale di superficie
Salve ragazzi, sono alle prese con questo problema:
Dato il solido definito dalla sup:
$ {(x,y,z) \epsilon \R ^3: x^2+y^2<=4 , 0<=z<=3-x } $
calcolarne l'area totale.
Il testo è scritto in questo modo, credo che sia $z=x^2+y^2<=4$, quindi l'integrale alla superficie dovrebbe essere:
\( \int_s ds\) =\(\int_D ( \sqrt{4x^2+4y^2+1} dx dy\)
confermate??
Dato il solido definito dalla sup:
$ {(x,y,z) \epsilon \R ^3: x^2+y^2<=4 , 0<=z<=3-x } $
calcolarne l'area totale.
Il testo è scritto in questo modo, credo che sia $z=x^2+y^2<=4$, quindi l'integrale alla superficie dovrebbe essere:
\( \int_s ds\) =\(\int_D ( \sqrt{4x^2+4y^2+1} dx dy\)
confermate??
Risposte
ciao Fabioremo ho provato a svolgere l'esercizio seguendo una strada differente, come risultato mi viene $S_l=pi(6+sqrt3)$.
Se è corretto ti spiego il ragionamento che ho fatto, ma di integrali neanche l'ombra!
Se è corretto ti spiego il ragionamento che ho fatto, ma di integrali neanche l'ombra!
ciao, grazie la risposta 
il risultato non lo so... comunque pensando un pochino, ho interpretato "semplicemente" il testo cioè prendendo $z=3-x$ ho risolto in questo modo ( scrivo in breve perdonatemi):
$||N(x,y)||=sqrt(2)$
poi passo a coordinate polari data la sfera $x^2+y^2<=4$
\( \int_k dxdy \) = $\int_0^(2pi) int_0^sqrt(4) \rho d\rhod\vartheta$ = $4pi sqrt(2)$
risolvendo normalmente invece (prendendo sempre $z=3-x$), cioè esplicitando i dati del testo trovo invece:
$ sqrt(2) \int_-2^2 int_-sqrt(4-x^2)^sqrt(4-x^2)\ dxdy$=$4pi sqrt(2)$
sarà così, non sarà così? bho...
comunque, che strada hai seguito? "purtroppo" mi sa che io devo integrare per forza
il risultato non lo so... comunque pensando un pochino, ho interpretato "semplicemente" il testo cioè prendendo $z=3-x$ ho risolto in questo modo ( scrivo in breve perdonatemi):
$||N(x,y)||=sqrt(2)$
poi passo a coordinate polari data la sfera $x^2+y^2<=4$
\( \int_k dxdy \) = $\int_0^(2pi) int_0^sqrt(4) \rho d\rhod\vartheta$ = $4pi sqrt(2)$
risolvendo normalmente invece (prendendo sempre $z=3-x$), cioè esplicitando i dati del testo trovo invece:
$ sqrt(2) \int_-2^2 int_-sqrt(4-x^2)^sqrt(4-x^2)\ dxdy$=$4pi sqrt(2)$
sarà così, non sarà così? bho...
comunque, che strada hai seguito? "purtroppo" mi sa che io devo integrare per forza
Ciao FabioRemo (qual è il nome?)
personalmete non ho grandi conoscenze, i miei studi universitari risalgono allo scorso millennio, mi piace però cercare di "tradurre" la scrittura algebrica in una immagine geometrica.
Tornando a bomba: la scrittura $x^2+y^2<=4$ a me non sembra una sfera però, se la interseco con il piano z=0 ottengo, sarai d'accordo, un cerchio centrato nell'origine di raggio 2, nella nostra scrittura non si dice niente della variabile z, a mio avviso essa può varaire da $-oo$ a $+oo$ senza influire minimamente sulla equazione del cerchio, secondo me quella scrittura indica dunque infiniti cerchi di raggio 2 che avranno il centro sull'asse z, infatti se interseco con il piano z=1 ottengo sempre un cerchio di raggio 2, idem per il piano z=3 eccetera, insomma a me sebra un cilindro senza inizio nè fine, tu che ne dici?
personalmete non ho grandi conoscenze, i miei studi universitari risalgono allo scorso millennio, mi piace però cercare di "tradurre" la scrittura algebrica in una immagine geometrica.
Tornando a bomba: la scrittura $x^2+y^2<=4$ a me non sembra una sfera però, se la interseco con il piano z=0 ottengo, sarai d'accordo, un cerchio centrato nell'origine di raggio 2, nella nostra scrittura non si dice niente della variabile z, a mio avviso essa può varaire da $-oo$ a $+oo$ senza influire minimamente sulla equazione del cerchio, secondo me quella scrittura indica dunque infiniti cerchi di raggio 2 che avranno il centro sull'asse z, infatti se interseco con il piano z=1 ottengo sempre un cerchio di raggio 2, idem per il piano z=3 eccetera, insomma a me sebra un cilindro senza inizio nè fine, tu che ne dici?
in effetti quel che lei mi dice ha senso, cioè non avevo mai pensato a questa cosa... come ha detto lei, l'interpretazione del testo potrebbe essere z "universo" che varia da $−∞ a +∞$ dove $x^2+y^2$ di raggio 2 traslando forma appunto un cilindro, e con la limitazione $0<=z<=3-x$ posso calcolarmi l'area. Così pensando, a maggior ragione forse il mio "procedimento" è giusto, z=3-x è la superficie "sigma" da cui prendo la normale, ed il resto è dominio. Altrimenti non ho idee per il momento...
P.S Fabio è il nome.
Ciao Fabio,
con l'accenno al secolo scorso ti ho indotto a darmi del lei? Per favore continuiamo con il tu mi sento più a mio agio.
Torniamo a noi, purtroppo per mie lacune/dimenticanze non riesco a seguire il tuo discorso: correggimi se sbaglio, la superficie sigma sarebbe la superficie totale e i singoli elementini che vuoi sommare $ds$ li immagini come vettorini perpendicolari alla superficie?
Io sono molto più "semplice"... mi dici per favore, così capisco, come è fatto secondo te il solido di cui devi calcolare la superficie totale, io me ne sono fatta un'idea, vediamo se è uguale alla tua. A dopo!
con l'accenno al secolo scorso ti ho indotto a darmi del lei? Per favore continuiamo con il tu mi sento più a mio agio.
Torniamo a noi, purtroppo per mie lacune/dimenticanze non riesco a seguire il tuo discorso: correggimi se sbaglio, la superficie sigma sarebbe la superficie totale e i singoli elementini che vuoi sommare $ds$ li immagini come vettorini perpendicolari alla superficie?
Io sono molto più "semplice"... mi dici per favore, così capisco, come è fatto secondo te il solido di cui devi calcolare la superficie totale, io me ne sono fatta un'idea, vediamo se è uguale alla tua. A dopo!
perdonami, continuo con il tu.
Comunque, io voglio trovare l'elemento d'area dS di una superficie $S$ $sub$ $RR^3$ che è grafico di una funzione $z=f(x,y)$ definita su un dominio $RR^2$. Suppongo, considerando le ipotesi ed i ragionamenti precedenti che $z=3-x$ definita sul dominio $x^2+y^2<=4$, pertanto una parametrizzazione $X$ per S è data da $X(x,y)=(x,y,f(x,y))$, ossia facendo i conti
$dS$=$\sqrt{\frac{\partial X^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial X^2 }{\partial y^2}+1}$=$sqrt(2)$
in quanto l'area di una superficie è data da: $\int_{S} dS$ da qui i calcoli precedentemente scritti.
Secondo me, il solido ha questa forma:
[img]http://www4c.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP40291a1a1g9a0eb50ahi00004d0e46cb29eei7gh?MSPStoreType=image/gif&s=18&w=300&h=303&cdf=Coordinates&cdf=Tooltips[/img]
Comunque, io voglio trovare l'elemento d'area dS di una superficie $S$ $sub$ $RR^3$ che è grafico di una funzione $z=f(x,y)$ definita su un dominio $RR^2$. Suppongo, considerando le ipotesi ed i ragionamenti precedenti che $z=3-x$ definita sul dominio $x^2+y^2<=4$, pertanto una parametrizzazione $X$ per S è data da $X(x,y)=(x,y,f(x,y))$, ossia facendo i conti
$dS$=$\sqrt{\frac{\partial X^2 }{\partial x^2}+\frac{\partial X^2 }{\partial y^2}+1}$=$sqrt(2)$
in quanto l'area di una superficie è data da: $\int_{S} dS$ da qui i calcoli precedentemente scritti.
Secondo me, il solido ha questa forma:
[img]http://www4c.wolframalpha.com/Calculate/MSP/MSP40291a1a1g9a0eb50ahi00004d0e46cb29eei7gh?MSPStoreType=image/gif&s=18&w=300&h=303&cdf=Coordinates&cdf=Tooltips[/img]
Buongiorno Fabio,
allora più che un solido mi sembra la sezione di un solido!
Ad ogni modo a me sembra, ma potrei sbagliarmi visto che per i conti fatti all'inizio avevo immaginato un altro solido, che il nostro cilindro sia limitato inferiormente da un piano perpendicolare all'asse $z$, per la precisione il piano $xy$ di equazione $z=0$, superiormente abbiamo l'equazione $z=3-x$, anche questa mi sembra l'equazione di un piano, lo vedo parallelo all'asse y, e che intercetta l'asse z nel punto P(0;0;3), e l'asse x nel punto Q(3;0;0).
Fino qui ci sono?
allora più che un solido mi sembra la sezione di un solido!
Ad ogni modo a me sembra, ma potrei sbagliarmi visto che per i conti fatti all'inizio avevo immaginato un altro solido, che il nostro cilindro sia limitato inferiormente da un piano perpendicolare all'asse $z$, per la precisione il piano $xy$ di equazione $z=0$, superiormente abbiamo l'equazione $z=3-x$, anche questa mi sembra l'equazione di un piano, lo vedo parallelo all'asse y, e che intercetta l'asse z nel punto P(0;0;3), e l'asse x nel punto Q(3;0;0).
Fino qui ci sono?
Buongiorno,
bhe si sezione in quanto il grafico precedente non era in 3D, era per dare un'idea
per esser chiari, il grafico è questo:
calcolare l'area totale della superficie...credo che i miei calcoli siano giusti
bhe si sezione in quanto il grafico precedente non era in 3D, era per dare un'idea
per esser chiari, il grafico è questo:
calcolare l'area totale della superficie...credo che i miei calcoli siano giusti
Ciao Fabio, la superficie rossa è $x^2+y^2=4$?
Io mi ero immaginata un cilindro, non un paraboloide, mi sono sbagliata?
Io mi ero immaginata un cilindro, non un paraboloide, mi sono sbagliata?
no hai ragione, è un cilindro... non riesco ad implementarlo con il sw e mi pone un paraboloide. Il resto è quello. Perdonami.
Non c'è nulla da perdonare, io non ho la soluzione in tasca e sto solo ragionando con te, siamo sullo stesso livello, anzi tu un po' meglio: sei fresco di studi e molto più giovane! ...e la matematica è un "gioco per ragazzi"!
Allora fammi capire: il nostro solido è un cilidro di raggio 2, alto 5, ma affettato da quel piano arancione?
Io non so usare i programmi, sono rimasta a carta e matita!
Allora fammi capire: il nostro solido è un cilidro di raggio 2, alto 5, ma affettato da quel piano arancione?
Io non so usare i programmi, sono rimasta a carta e matita!
Premettendo che di integrali di superficie ne so poco e niente, mi par di capire che avete difficoltà a capire di che solido si tratta, no?
Bene, nello spazio (più precisamente, in $RR^3$), $C={x^2+y^2\leq 4}$ rappresenta un cilindro di raggio $2$ con le generatrici parallele all'asse $z$. Detto questo, ${x^2+y^2\leq 4, 0\leq z \leq 3-x}$ rappresenta la "parte" di $C$ compresa tra i piani $z=0$ e $z=3-x$. Cosa c'è di strano?
Ciao!
Giuseppe
EDIT: scusate, non mi sono accorto che mi avete preceduto
Bene, nello spazio (più precisamente, in $RR^3$), $C={x^2+y^2\leq 4}$ rappresenta un cilindro di raggio $2$ con le generatrici parallele all'asse $z$. Detto questo, ${x^2+y^2\leq 4, 0\leq z \leq 3-x}$ rappresenta la "parte" di $C$ compresa tra i piani $z=0$ e $z=3-x$. Cosa c'è di strano?
Ciao!
Giuseppe
EDIT: scusate, non mi sono accorto che mi avete preceduto
"FabioRemo":
Dato il solido definito dalla sup:
$ {(x,y,z) \epsilon \R ^3: x^2+y^2<=4 , 0<=z<=3-x } $
Si classifica come "superficie" un insieme del genere?
Ciao Plepp ti ringrazio per l'intervento: avrei qualche idea, ma non ne sono sicura e vorrei delle conferme.
Non le espongo ora perchè temo di impedire a Fabio di costruirsi le sue, in fin dei conti è lui lo studente, io lo faccio solo per diletto!
Anche se il 3d diventa un po' lungo e macchinoso credo che non si debbano accelerare le cose, apprezzo molto questa modalità di dialogo, quella dei forum, perchè lascia il tempo all'interlocutore di riflettere senza essere incalzato dalla presenza fisica delle altre persone.
Ad ogni modo continua a seguirci e a intervenire tre teste pensano meglio di due!
Non le espongo ora perchè temo di impedire a Fabio di costruirsi le sue, in fin dei conti è lui lo studente, io lo faccio solo per diletto!
Anche se il 3d diventa un po' lungo e macchinoso credo che non si debbano accelerare le cose, apprezzo molto questa modalità di dialogo, quella dei forum, perchè lascia il tempo all'interlocutore di riflettere senza essere incalzato dalla presenza fisica delle altre persone.
Ad ogni modo continua a seguirci e a intervenire tre teste pensano meglio di due!
Ciao Giuseppe,
no no la figura diciamo che su carta o mente è "chiara" da ieri... il problema è come impostare l'integrale superficiale, o per lo meno se risulta esatto il mio ragionamento.
Comunque, con un altro sw il grafico è questo:
tanto per poter ragionare su una figura condivisa e partorita da tutti, anche perchè è sempre difficile capire certi concetti su un canale di comunicazione come un forum.
P.S per giò...ultimamente sono in cerca di freschezza mentale.
no no la figura diciamo che su carta o mente è "chiara" da ieri... il problema è come impostare l'integrale superficiale, o per lo meno se risulta esatto il mio ragionamento.
Comunque, con un altro sw il grafico è questo:
tanto per poter ragionare su una figura condivisa e partorita da tutti, anche perchè è sempre difficile capire certi concetti su un canale di comunicazione come un forum.
P.S per giò...ultimamente sono in cerca di freschezza mentale.
Eh...per l'integrale, purtroppo, non so aiutarti (potrei dirti un mucchio di fesserie)...
Però ti consiglio di abbandonare (almeno parzialmente) questo approccio. Non sempre puoi "figurare" gli oggetti geometrici con cui hai a che fare: sei stato fortunato che di mezzo ci sono piani e cilindri, ma se ti capitano superfici più complesse, non ti resta che affidarti alla loro descrizione analitica.
Però ti consiglio di abbandonare (almeno parzialmente) questo approccio. Non sempre puoi "figurare" gli oggetti geometrici con cui hai a che fare: sei stato fortunato che di mezzo ci sono piani e cilindri, ma se ti capitano superfici più complesse, non ti resta che affidarti alla loro descrizione analitica.
"Plepp":
[quote="FabioRemo"]
Dato il solido definito dalla sup:
$ {(x,y,z) \epsilon \R ^3: x^2+y^2<=4 , 0<=z<=3-x } $
Si classifica come "superficie" un insieme del genere?
[/quote]Ciao Giuseppe,
correggimi se sbaglio, questa scrittura mi indica l'insieme dei punti interni (frontiera compresa) alle superfici che sono rispettivamente il cilindro di raggio 2, con l'asse coincidente con l'asse z, il piano xy, perpendicolare all'asse del cilindro, e infine il piano che "taglia" obliquamente il cilindro. Direi un solido, non una superficie, giusto?
@Fabio la tua figura ancora non mi convince, cerco di descrivere quello che ho in mente, anche un po' "poeticamente":
il regolare tronco di un albero segato obliquamente,
alla base ho una circonferenza, poi l'albero si innalza come un cilindro fino alla quota 1, poi inizia il "taglio obliquo", la cui superficie me la immagino come un ellissi, che finisce a quota 5.
Per calcolare la superficie di questo solido non trovo difficoltà a trovarmi l'area della base $A_b=pi*r^2$ dove r=2,
poi mi trovo la superficie laterale di un cilindro alto 1 di raggio 2: $A_l=2pi*r*h$ dove r=2 e h=1
Ora iniziano i guai: mi immagino si sommare tra di loro degli elementini di superficie alti un'inezia, $dz$, la cui forma è fatta da un'arco di circonferenza chiuso dalla corda che congiunge i due estremi dell'arco, inoltre vedo che a salire lungo l'asse z l'arco di circonferenza diminuisce mentre aumenta la lunghezza della corda fino a coincidere con il diametro della circonferenza (4), dovremmo essere a z=3, per poi diminuire entrambi fino ad arrivare a 0 per z=5.
Che ne dite?
@Gio: Per l'insieme ci sei! Quanto alla "nomenclatura", è quello che penso anch'io! Boh
@Fabio: sono d'accordo con Gio. La figura non è quella...i piani dovrebbero intersecare entrambi il cilindro: con il piano $xy$ l' intersezione è una circonferenza (banalmente...); con $z=3-x$ dovrebbe essere 'na sottospecie di ellisse (comunque una curva chiusa, un "cerchio stirato").
Quanto alla "nomenclatura", è quello che penso anch'io! Boh @Fabio: sono d'accordo con Gio. La figura non è quella...i piani dovrebbero intersecare entrambi il cilindro: con il piano $xy$ l' intersezione è una circonferenza (banalmente...); con $z=3-x$ dovrebbe essere 'na sottospecie di ellisse (comunque una curva chiusa, un "cerchio stirato").
Il testo dell'esercizio non è scritto molto bene, comunque sembra anche a me che si tratti di calcolare l'area della superficie esterna del solido indicato, che a sua volta (come avete già osservato) è un "tronco di cilindro" poggiato a terra e tagliato sopra dal piano \(z=x-3\).
L'area del cerchio di base non dà problemi.
L'area del "coperchio" l'ha già calcolata FabioRemo in uno dei suoi primi post (è l'area di un'ellisse).
L'area della superficie laterale è equivalente a quella del cilindro avente altezza \(3\): questo si può vedere disegnandosi una sezione del solido nel piano \(xz\).
L'area del cerchio di base non dà problemi.
L'area del "coperchio" l'ha già calcolata FabioRemo in uno dei suoi primi post (è l'area di un'ellisse).
L'area della superficie laterale è equivalente a quella del cilindro avente altezza \(3\): questo si può vedere disegnandosi una sezione del solido nel piano \(xz\).
signori, il grafico è quello, temo...
forse qui si vede meglio
Comunque, concordo e ringrazio Rigel, il testo non è chiaro...ma credo che sia come hai detto tu, in quanto dice area della superficie totale.
forse qui si vede meglio
Comunque, concordo e ringrazio Rigel, il testo non è chiaro...ma credo che sia come hai detto tu, in quanto dice area della superficie totale.
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