Integrale di superficie?
Devo svolgere un esercizio in cui è richiesto di calcolare l'area della superficie [tex]\Sigma[/tex] del grafico di [tex]z=x^2+2y^2[/tex] limitato all'ellisse [tex]D={x^2/4+y^2/9<=1}[/tex].
Allora ho capito che devo svolgere l'integrale [tex]\iint_{\Sigma}\sqrt{1+f_x^2+f_y^2} \, dx\,dy[/tex] ma non sono capace. Ho provato con le coordinate ellittiche ma la funzione si complica... mi dareste qualche delucidazione?
Allora ho capito che devo svolgere l'integrale [tex]\iint_{\Sigma}\sqrt{1+f_x^2+f_y^2} \, dx\,dy[/tex] ma non sono capace. Ho provato con le coordinate ellittiche ma la funzione si complica... mi dareste qualche delucidazione?
Risposte
Okay, non sò se sia uguale ma a me hanno imparato un altro modo di risolvere questi problemi, poi forse è lo stesso.
Hai la superficie: $z=x^2+2y^2$ e $D=(x/4)^2+(y/9)^2<=1$
Costruisco un sistema fatto così:
$x=u$
$y=v$
$z=u^2+2v^2$
Deriviamo parzialmente per u e per v.
$thetau=(1,0,2u)$
$thetav=(0,1,4v)$
Calcolando la norma del prodotto vettoriale tra $thetau$ e $thetav$ e inserendolo all'interno dell'integrale doppio decidiamo quale sistema di variabili adottare. Il risultato è l'area della superficie che cercavi.
Ma meglio attendere l'intervento di qualcuno più esperto
Hai la superficie: $z=x^2+2y^2$ e $D=(x/4)^2+(y/9)^2<=1$
Costruisco un sistema fatto così:
$x=u$
$y=v$
$z=u^2+2v^2$
Deriviamo parzialmente per u e per v.
$thetau=(1,0,2u)$
$thetav=(0,1,4v)$
Calcolando la norma del prodotto vettoriale tra $thetau$ e $thetav$ e inserendolo all'interno dell'integrale doppio decidiamo quale sistema di variabili adottare. Il risultato è l'area della superficie che cercavi.
Ma meglio attendere l'intervento di qualcuno più esperto
Sì, l'integrale che ho scritto l'ho ottenuto dopo aver applicato la regola che hai postato tu. Solo che non so risolverlo, e allora ho chiesto aiuto.
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