Integrale di superficie

emaz92
trovare la superficie del cono di equazione $x^2-y^2=z^2$ all' interno del cilindro $x^2+y^2=2ax$.

Mia soluzione: proietto sul piano $xy$ la superficie del cono $S=intint_(S)sqrt(1+x^2/(y^2+x^2)+y^2/(y^2+x^2))dxdy$, poi passando alle coordinate polari mi viene: $int_(-pi/4)^(pi/4)int_(0)^(2acos(theta))sqrt(2)a^(2)rcos(theta)/sqrt(cos(2theta))drd(theta)$ che alla fine facendo i calcoli mi dà $3pia^2/2$ che non è il risultato

Risposte
ciampax
emaz, guarda che il cono ha l'asse coincidente con l'asse delle $x$, mentre il cilindro ha come asse uno parallelo all'asse $z$. Ti conviene ripensarci un po' su.

Quinzio
In effetti il cono è "orizzontale".
Poi nella tua formula finale non c'è traccia del parametro $a$ !
Che fine ha fatto ?

ciampax
"Quinzio":
In effetti il cono è "orizzontale".
Poi nella tua formula finale non c'è traccia del parametro $a$ !
Che fine ha fatto ?


Mi piace il "cono orizzontale"! Sembra il titolo di un film d'avanguardia! :-D

emaz92
"Quinzio":
In effetti il cono è "orizzontale".
Poi nella tua formula finale non c'è traccia del parametro $a$ !
Che fine ha fatto ?

ah...me l' ero semplicemente scordato il parametro quinzio, ho editato. Comunque lo so che il cono è orizzontale ma non capisco dove sbaglio.Lo proietto sul piano xy poi integro passando in coordinate polari sulle proiezioni del cono e del cilindro sul piano xy; queste sono le mie idee, a quanto pare c'è qualche "falla" da colmare ?

emaz92
"ciampax":
emaz, guarda che il cono ha l'asse coincidente con l'asse delle $x$, mentre il cilindro ha come asse uno parallelo all'asse $z$. Ti conviene ripensarci un po' su.


ciao ciampax...come ho scritto sopra lo sapevo che il cono era orizzontale,autoquoto quello che ho scritto a quinzio:"ah...me l' ero semplicemente scordato il parametro quinzio, ho editato. Comunque lo so che il cono è orizzontale ma non capisco dove sbaglio.Lo proietto sul piano xy poi integro passando in coordinate polari sulle proiezioni del cono e del cilindro sul piano xy; queste sono le mie idee, a quanto pare c'è qualche "falla" da colmare ?"

emaz92
scusate se riuppo ma mi piacerebbe capire dove sbaglio in questo esercizio

ciampax
Io direi che, per prima cosa, puoi considerare solo gli $a>0$, in quanto il cilindro ha l'asse $z$ come tangente e quindi si trova da un lato o dall'altro rispetto ad esso. A questo punto, semplicemente, parametrizzerei il cono al modo seguente $r(u,v)=(u,\ u\cos v,\ u\sin v)$ così da ottenere per il cilindro la forma $u^2+u^2\cos^2 v=2au$ che ti fornisce la limitazione superiore $u={2a}/{1+\cos^2 v}$. A questo punto calcoli i coefficienti della prima forma fondamentale e il fattore d'area (che è pari a $\sqrt{2}\u$, se non ho fatto errori) ed integri sul dominio $0\le v\le 2\pi,\ 0\le u\le {2a}/{1+\cos^2 v}$.

emaz92
"ciampax":
Io direi che, per prima cosa, puoi considerare solo gli $a>0$, in quanto il cilindro ha l'asse $z$ come tangente e quindi si trova da un lato o dall'altro rispetto ad esso. A questo punto, semplicemente, parametrizzerei il cono al modo seguente $r(u,v)=(u,\ u\cos v,\ u\sin v)$ così da ottenere per il cilindro la forma $u^2+u^2\cos^2 v=2au$ che ti fornisce la limitazione superiore $u={2a}/{1+\cos^2 v}$. A questo punto calcoli i coefficienti della prima forma fondamentale e il fattore d'area (che è pari a $\sqrt{2}\u$, se non ho fatto errori) ed integri sul dominio $0\le v\le 2\pi,\ 0\le u\le {2a}/{1+\cos^2 v}$.

si si grazie ciampax mi torna tutto adesso :smt023

Rispondi
Per rispondere a questa discussione devi prima effettuare il login.