Integrale di superficie
trovare la superficie del cono di equazione $x^2-y^2=z^2$ all' interno del cilindro $x^2+y^2=2ax$.
Mia soluzione: proietto sul piano $xy$ la superficie del cono $S=intint_(S)sqrt(1+x^2/(y^2+x^2)+y^2/(y^2+x^2))dxdy$, poi passando alle coordinate polari mi viene: $int_(-pi/4)^(pi/4)int_(0)^(2acos(theta))sqrt(2)a^(2)rcos(theta)/sqrt(cos(2theta))drd(theta)$ che alla fine facendo i calcoli mi dà $3pia^2/2$ che non è il risultato
Mia soluzione: proietto sul piano $xy$ la superficie del cono $S=intint_(S)sqrt(1+x^2/(y^2+x^2)+y^2/(y^2+x^2))dxdy$, poi passando alle coordinate polari mi viene: $int_(-pi/4)^(pi/4)int_(0)^(2acos(theta))sqrt(2)a^(2)rcos(theta)/sqrt(cos(2theta))drd(theta)$ che alla fine facendo i calcoli mi dà $3pia^2/2$ che non è il risultato
Risposte
emaz, guarda che il cono ha l'asse coincidente con l'asse delle $x$, mentre il cilindro ha come asse uno parallelo all'asse $z$. Ti conviene ripensarci un po' su.
In effetti il cono è "orizzontale".
Poi nella tua formula finale non c'è traccia del parametro $a$ !
Che fine ha fatto ?
Poi nella tua formula finale non c'è traccia del parametro $a$ !
Che fine ha fatto ?
"Quinzio":
In effetti il cono è "orizzontale".
Poi nella tua formula finale non c'è traccia del parametro $a$ !
Che fine ha fatto ?
Mi piace il "cono orizzontale"! Sembra il titolo di un film d'avanguardia!

"Quinzio":
In effetti il cono è "orizzontale".
Poi nella tua formula finale non c'è traccia del parametro $a$ !
Che fine ha fatto ?
ah...me l' ero semplicemente scordato il parametro quinzio, ho editato. Comunque lo so che il cono è orizzontale ma non capisco dove sbaglio.Lo proietto sul piano xy poi integro passando in coordinate polari sulle proiezioni del cono e del cilindro sul piano xy; queste sono le mie idee, a quanto pare c'è qualche "falla" da colmare ?
"ciampax":
emaz, guarda che il cono ha l'asse coincidente con l'asse delle $x$, mentre il cilindro ha come asse uno parallelo all'asse $z$. Ti conviene ripensarci un po' su.
ciao ciampax...come ho scritto sopra lo sapevo che il cono era orizzontale,autoquoto quello che ho scritto a quinzio:"ah...me l' ero semplicemente scordato il parametro quinzio, ho editato. Comunque lo so che il cono è orizzontale ma non capisco dove sbaglio.Lo proietto sul piano xy poi integro passando in coordinate polari sulle proiezioni del cono e del cilindro sul piano xy; queste sono le mie idee, a quanto pare c'è qualche "falla" da colmare ?"
scusate se riuppo ma mi piacerebbe capire dove sbaglio in questo esercizio
Io direi che, per prima cosa, puoi considerare solo gli $a>0$, in quanto il cilindro ha l'asse $z$ come tangente e quindi si trova da un lato o dall'altro rispetto ad esso. A questo punto, semplicemente, parametrizzerei il cono al modo seguente $r(u,v)=(u,\ u\cos v,\ u\sin v)$ così da ottenere per il cilindro la forma $u^2+u^2\cos^2 v=2au$ che ti fornisce la limitazione superiore $u={2a}/{1+\cos^2 v}$. A questo punto calcoli i coefficienti della prima forma fondamentale e il fattore d'area (che è pari a $\sqrt{2}\u$, se non ho fatto errori) ed integri sul dominio $0\le v\le 2\pi,\ 0\le u\le {2a}/{1+\cos^2 v}$.
"ciampax":
Io direi che, per prima cosa, puoi considerare solo gli $a>0$, in quanto il cilindro ha l'asse $z$ come tangente e quindi si trova da un lato o dall'altro rispetto ad esso. A questo punto, semplicemente, parametrizzerei il cono al modo seguente $r(u,v)=(u,\ u\cos v,\ u\sin v)$ così da ottenere per il cilindro la forma $u^2+u^2\cos^2 v=2au$ che ti fornisce la limitazione superiore $u={2a}/{1+\cos^2 v}$. A questo punto calcoli i coefficienti della prima forma fondamentale e il fattore d'area (che è pari a $\sqrt{2}\u$, se non ho fatto errori) ed integri sul dominio $0\le v\le 2\pi,\ 0\le u\le {2a}/{1+\cos^2 v}$.
si si grazie ciampax mi torna tutto adesso
