Integrale di superficie
Si chiede di calcolare l'integrale di superficie:
$ int int_(S) nabla F * vec n dS $
dove: $ vec F (x,y,z) = (x)^(2) vec i + vec j + z vec k $
ed S è il triangolo di vertici (0;0;0), (1;1;0), (0;0;1) ed $ vec n $ è la normale tale che $ vec n*vec i > 0 $ ($ vec i $,$ vec j $,$ vec k $ sono i versori dei tre assi).
Sembra facile ma non ho la soluzione e vorrei verificare ciò che ho fatto, visto che è tanto che non maneggio questi affari
Domandina aggiuntiva: oltre a risolvere l'integrale in maniera direttamente si può usare anche il teorema della divergenza giusto?
$ int int_(S) nabla F * vec n dS $
dove: $ vec F (x,y,z) = (x)^(2) vec i + vec j + z vec k $
ed S è il triangolo di vertici (0;0;0), (1;1;0), (0;0;1) ed $ vec n $ è la normale tale che $ vec n*vec i > 0 $ ($ vec i $,$ vec j $,$ vec k $ sono i versori dei tre assi).
Sembra facile ma non ho la soluzione e vorrei verificare ciò che ho fatto, visto che è tanto che non maneggio questi affari
Domandina aggiuntiva: oltre a risolvere l'integrale in maniera direttamente si può usare anche il teorema della divergenza giusto?
Risposte
Sei sicuro del testo? Quel $nabla$ applicato ad un vettore cosa significa?
Si, ho controllato il testo e sono certo di aver riportato l'esercizio correttamente.
$ nabla vec F = Gradiente (vec F) $
$ nabla vec F = Gradiente (vec F) $
Si ok, ma cosa si intende? Il gradiente di un campo vettoriale cosa è?
E' un vettore le cui componenti sono date dalle derivate parziali del campo.
Non capisco cosa mi stai suggerendo
Non capisco cosa mi stai suggerendo
No, non ti sto suggerendo niente, è che non mi ritrovo dimensionalmente. Se hai un campo scalare $f$, il gradiente è un vettore:
$nabla f= f_x vec{i}+f_y vec{j}+f_zvec{k}$.
Ma se hai un campo vettoriale, il gradiente non è un vettore (infatti è un tensore doppio, un oggetto più grosso e complicato). Per questo non mi convince quel $nabla$. Non sarà che devi calcolare
$int vec{F} cdot vec{n} dS$?
$nabla f= f_x vec{i}+f_y vec{j}+f_zvec{k}$.
Ma se hai un campo vettoriale, il gradiente non è un vettore (infatti è un tensore doppio, un oggetto più grosso e complicato). Per questo non mi convince quel $nabla$. Non sarà che devi calcolare
$int vec{F} cdot vec{n} dS$?
Se fosse la divergenza del campo sarebbe più accettabile? Come procederei in quel caso?
Anche la divergenza non va bene. La divergenza è uno scalare, ma quell'integrale vuole un vettore (è un integrale di flusso).
E' strano che la traccia sia sbagliata perchè è il compito d'esame dell'anno scorso, ma anche a me sembrava un pò diverso dalle solite tracce d'esame (nel senso che gli integrali di flusso da calcolare erano sempre del tipo $ int_S vec F vec n dS $ )
E' da questo tipo di ragionamento che hai riconosciuto che l'integrale richiede un vettore e che è un'integrale di flusso oppure c'è qualcos'altro che mi sono perso?
E' da questo tipo di ragionamento che hai riconosciuto che l'integrale richiede un vettore e che è un'integrale di flusso oppure c'è qualcos'altro che mi sono perso?
Il fatto che sia un integrale di flusso lo vedi dal dominio di integrazione (una superficie) e dalla presenza del termine $cdot vec{n} dS$. C'è un prodotto scalare, quindi ci devono essere due vettori: uno è $\vec{n}$, l'altro è il campo vettoriale da integrare. Secondo me quel $nabla$ è in più.
Magari all'esaminatore è scappato mentre compilava le tracce e poi lo ha corretto a voce durante l'esame, può darsi.
Magari all'esaminatore è scappato mentre compilava le tracce e poi lo ha corretto a voce durante l'esame, può darsi.
Ti ringrazio per la pazienza, ma ho un altro dubbio: se uso il teorema della divergenza ottengo l'integrale di volume di uno scalare, giusto?
Come si concilia con quanto hai detto? E' possibile ottenere l'integrale grazie al fatto che scompare il vettore normale $vec n$?
Come si concilia con quanto hai detto? E' possibile ottenere l'integrale grazie al fatto che scompare il vettore normale $vec n$?
Non ho capito che cosa vuoi dire. Usi il teorema della divergenza applicato a cosa? E' assodato che quel $nabla$ è in più o no?
Il teorema della divergenza dice che vale la seguente uguaglianza:
$ int int_(S) vec F * vec n dS = int int int_(V) nabla vec F dV $
Dunque ottengo un integrale di volume di uno scalare, giusto?
$ int int_(S) vec F * vec n dS = int int int_(V) nabla vec F dV $
Dunque ottengo un integrale di volume di uno scalare, giusto?
Ti sei scordato un $cdot$ nel membro destro. La formula corretta è
$ int int_(S) vec F * vec n dS = int int int_(V) nabla cdot vec F dV $ .
Comunque, si, questo teorema trasforma il flusso di un campo vettoriale nell'integrale di volume di un campo scalare.
$ int int_(S) vec F * vec n dS = int int int_(V) nabla cdot vec F dV $ .
Comunque, si, questo teorema trasforma il flusso di un campo vettoriale nell'integrale di volume di un campo scalare.
Giusto, ho dimenticato il prodotto.
Dunque, io ho proceduto cosi per risolvere il problema:
$ nabla * vec F = 2x + 1 $
E per l'integrale:
$ int int int_(V) nabla * vec F = int_(0)^(1) int_(0)^(1) int_(0)^(1) (2x+1) dx dy dz = 2 $
è corretto?
Dunque, io ho proceduto cosi per risolvere il problema:
$ nabla * vec F = 2x + 1 $
E per l'integrale:
$ int int int_(V) nabla * vec F = int_(0)^(1) int_(0)^(1) int_(0)^(1) (2x+1) dx dy dz = 2 $
è corretto?
up
up
Ho modificato il risultato: c'è qualcuno che può confermarmene la correttezza?
ariup
Senti, è inutile. Non si è ancora capito che cosa stai facendo. Quale integrale hai calcolato? La traccia precisa dell'esercizio qual è? Questi conti che hai fatto da dove li hai tirati fuori? Nessuno risponderà mai se non chiarisci questi aspetti.
"MaGosTranO93":
Dunque, io ho proceduto cosi per risolvere il problema:
$ nabla * vec F = 2x + 1 $
E per l'integrale:
$ int int int_(V) nabla * vec F = int_(0)^(1) int_(0)^(1) int_(0)^(1) (2x+1) dx dy dz = 2 $
è corretto?
Questo testo, che risponde a tutte le tue domande, l'ho autocitato da un post di qualche giorno fa.
Oltre al fatto che, come vedi, ho cercato di essere preciso, tutto questo non mi sembra un buon motivo per aggredire un utente che sta facendo una domanda su un esercizio piuttosto semplice che in fondo non richiede cosi tante specificazioni, se non quando ci si sveglia di cattivo umore.
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