Integrale di superficie
Si chiede di calcolare l'integrale di superficie:
$ int int_(S) nabla F * vec n dS $
dove: $ vec F (x,y,z) = (x)^(2) vec i + vec j + z vec k $
ed S è il triangolo di vertici (0;0;0), (1;1;0), (0;0;1) ed $ vec n $ è la normale tale che $ vec n*vec i > 0 $ ($ vec i $,$ vec j $,$ vec k $ sono i versori dei tre assi).
Sembra facile ma non ho la soluzione e vorrei verificare ciò che ho fatto, visto che è tanto che non maneggio questi affari
Domandina aggiuntiva: oltre a risolvere l'integrale in maniera direttamente si può usare anche il teorema della divergenza giusto?
$ int int_(S) nabla F * vec n dS $
dove: $ vec F (x,y,z) = (x)^(2) vec i + vec j + z vec k $
ed S è il triangolo di vertici (0;0;0), (1;1;0), (0;0;1) ed $ vec n $ è la normale tale che $ vec n*vec i > 0 $ ($ vec i $,$ vec j $,$ vec k $ sono i versori dei tre assi).
Sembra facile ma non ho la soluzione e vorrei verificare ciò che ho fatto, visto che è tanto che non maneggio questi affari
Domandina aggiuntiva: oltre a risolvere l'integrale in maniera direttamente si può usare anche il teorema della divergenza giusto?
Risposte
Non ho nessuna intenzione di aggredirti e mi dispiace tu ti sia sentito offeso. Fatto sta che quello scampolo non risponde alla domanda sostanziale.
Io al massimo ti posso confermare che hai calcolato correttamente la divergenza, ovverosia la cosa più banale. Da quel punto in poi non si può più dire niente. $V$ chi è? Quale integrale devi calcolare? Eravamo rimasti ad un $nabla vec{F}$ che non si capiva cosa fosse. Chiarisci per bene questo punto e poi se ne potrà discutere.
E' inutile fare UP, sia pure nel completo rispetto del regolamento, se questo vizio di fondo non è eliminato.
Io al massimo ti posso confermare che hai calcolato correttamente la divergenza, ovverosia la cosa più banale. Da quel punto in poi non si può più dire niente. $V$ chi è? Quale integrale devi calcolare? Eravamo rimasti ad un $nabla vec{F}$ che non si capiva cosa fosse. Chiarisci per bene questo punto e poi se ne potrà discutere.
E' inutile fare UP, sia pure nel completo rispetto del regolamento, se questo vizio di fondo non è eliminato.
Sono partito scrivendo la traccia dell'esame: maggiori informazioni di queste non ne ho, dunque immagino che non ce ne sia bisogno.
Siamo andati avanti presupponendo che la traccia contenesse un errore, ovvero che il $ nabla $ fosse in piu, e dunque l'integrale da calcolare fosse un integrale di flusso, ancor piu facilmente calcolabile attraverso il teorema della divergenza.
Se proprio è necessario specificarlo, il volume $V$ su cui calcolare l'integrale è la regione normale che ha $sigma$ come superficie.
Davvero non so cos'altro aggiungere.
Siamo andati avanti presupponendo che la traccia contenesse un errore, ovvero che il $ nabla $ fosse in piu, e dunque l'integrale da calcolare fosse un integrale di flusso, ancor piu facilmente calcolabile attraverso il teorema della divergenza.
Se proprio è necessario specificarlo, il volume $V$ su cui calcolare l'integrale è la regione normale che ha $sigma$ come superficie.
Davvero non so cos'altro aggiungere.
Traccia d'esame di cui hai fatto abbondantemente a meno, dato che hai integrato sul cubo unitario.
Ma, detto in maniera molto diretta, conosci l'enunciato del teorema della divergenza o stai procedendo del tutto a caso?
Ma, detto in maniera molto diretta, conosci l'enunciato del teorema della divergenza o stai procedendo del tutto a caso?
Ok, almeno son certo che le informazioni sufficienti ci sono, perchè quando si tratta di sminuire la capacità di un utente in difficoltà vengono abbondantemente utilizzate.
Ringrazio comunque di avermi fatto notare la mancanza: conosco il teorema della divergenza, ed ho integrato sul cubo "solo" per un errore di valutazione dei limiti degli integrali.
Limiti che a prima vista non riesco a rettificare: qualche suggerimento?
Ringrazio comunque di avermi fatto notare la mancanza: conosco il teorema della divergenza, ed ho integrato sul cubo "solo" per un errore di valutazione dei limiti degli integrali.
Limiti che a prima vista non riesco a rettificare: qualche suggerimento?
"MaGosTranO93":
conosco il teorema della divergenza
Quindi sai anche che la superficie cui applichi il teorema deve essere chiusa (ché deve delimitare un dominio) e che un triangolo non è una superficie con tali caratteristiche...
"gugo82":
Quindi sai anche che la superficie cui applichi il teorema deve essere chiusa (ché deve delimitare un dominio) e che un triangolo non è una superficie con tali caratteristiche...
Giusto, ho inizialmente pensato che la superficie chiusa fosse quella a quattro facce triangolari (3 costituite dai triangoli piani + 1 di congiungimento) con i limiti che ho erroneamente attribuito agli integrali...
Ma non capisco ancora come dovrei muovermi.
Usa la definizione di flusso... Tanto: l'integrando lo conosci esplicitamente; un versore normale al triangolo lo sai trovare (per inciso, è il versore normale al piano contenente i vertici); ed una parametrizzazione della superficie, se ti metti a giocare un po', la trovi in un niente.
"gugo82":
Usa la definizione di flusso... Tanto: l'integrando lo conosci esplicitamente; un versore normale al triangolo lo sai trovare (per inciso, è il versore normale al piano contenente i vertici); ed una parametrizzazione della superficie, se ti metti a giocare un po', la trovi in un niente.
Non capisco: non mi serve a nulla dunque trovare le equazioni dei lati del triangolo?
Se devo addirittura parametrizzare mi sa che sono proprio fuori strada... Puoi essere più esplicito? Magari farmi vedere un esempio...
Definisci cosa intendi per "equazioni dei lati"...
Ad ogni modo, quello che hai davanti è né più né meno che un classico integrale di superficie; quindi se conosci la definizione, come risolvere lo dovresti sapere.
Prova a spiegare meglio cosa non ti è chiaro.
P.S.: Guarda che parametrizzare quella roba lì non è difficile: infatti il triangolo (hai fatto un disegno?) è il grafico di una funzione di due variabili, ergo si parametrizza in maniera standard.
Ad ogni modo, quello che hai davanti è né più né meno che un classico integrale di superficie; quindi se conosci la definizione, come risolvere lo dovresti sapere.
Prova a spiegare meglio cosa non ti è chiaro.
P.S.: Guarda che parametrizzare quella roba lì non è difficile: infatti il triangolo (hai fatto un disegno?) è il grafico di una funzione di due variabili, ergo si parametrizza in maniera standard.
Purtroppo la mia confusione deriva dal fatto che erano anni che non risolvevo piu integrali simili e quindi i procedimenti mi risultano piuttosto annebbiati.
Per "equazione dei lati" intendo scrivere le equazioni dei segmenti della superficie triangolare, ovvero, rispetto alla traccia dell'esercizio, i segmenti AB, BC, CA.
Probabilmente il suggerimento è di parametrizzare quei tre segmenti secondo un'unica variabile, giusto? Purtroppo la "maniera standard" di parametrizzazione non la ricordo.
Per "equazione dei lati" intendo scrivere le equazioni dei segmenti della superficie triangolare, ovvero, rispetto alla traccia dell'esercizio, i segmenti AB, BC, CA.
Probabilmente il suggerimento è di parametrizzare quei tre segmenti secondo un'unica variabile, giusto? Purtroppo la "maniera standard" di parametrizzazione non la ricordo.
L'integrale è un integrale superficiale, non un integrale curvilineo; quindi parametrizzare i lati come curve non ti aiuta.
In questo caso devi parametrizzare la superficie, che, come detto, è un banale grafico di funzione.
Se controlli sul libro di Analisi II ci sarà spiegato come fare; anzi, visto che sono anni che non manipoli integrali simili, direi che un ripasso della teoria non può far altro che bene.
In questo caso devi parametrizzare la superficie, che, come detto, è un banale grafico di funzione.
Se controlli sul libro di Analisi II ci sarà spiegato come fare; anzi, visto che sono anni che non manipoli integrali simili, direi che un ripasso della teoria non può far altro che bene.
Non ho molto tempo per rispolverare i libri, nel senso che l'esame è fra qualche settimana e devo prendere confidenza con molte altre tipologie di esercizi oltre a questo.
Se potessi vedere una soluzione per questo caso specifico mi sarebbe molto d'aiuto.
[mod="gugo82"]Insomma, dovremmo risolverti l'esercizio... Ti ricordo il regolamento, 1.2-1.5.
L'impegno tuo è imprescindibile.
Per passare l'esame, "rispolverare il libro" è il minimo che tu debba fare; in verità, dovresti studiare sodo, ridurre quel libro in brandelli per l'eccessivo uso, e non solo "rispolverarlo".
Di integrali superficiali svolti sul forum ce ne sono a bizzeffe; visto che tu non vuoi "rispolverare il libro", non vedo perchè noi dovremmo ripetere per la millesima volta cose già dette.
Detto ciò, chiudo.[/mod]
Se potessi vedere una soluzione per questo caso specifico mi sarebbe molto d'aiuto.
[mod="gugo82"]Insomma, dovremmo risolverti l'esercizio... Ti ricordo il regolamento, 1.2-1.5.
L'impegno tuo è imprescindibile.
Per passare l'esame, "rispolverare il libro" è il minimo che tu debba fare; in verità, dovresti studiare sodo, ridurre quel libro in brandelli per l'eccessivo uso, e non solo "rispolverarlo".
Di integrali superficiali svolti sul forum ce ne sono a bizzeffe; visto che tu non vuoi "rispolverare il libro", non vedo perchè noi dovremmo ripetere per la millesima volta cose già dette.
Detto ciò, chiudo.[/mod]
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