Integrale di superficie
Salve,
questa volta ho un dubbio nell'impostare l'integrale e i suoi estremi di integrazione.
$int int_S (xsqrt(z))/(4x^2+y^2) dS$ con $S={(z=4(x^2+y^2)),(x>=0),(0<=z<=2):}$
Che se non sbaglio dovrebbe corrispondere a questa parte di paraboloide:
(anche se l'ho disegnata un pò "larga")
Ho pensato di usare le coordinate cilindriche in questo modo:
${(x=\rhocos\theta),(y=\rhosin\theta),(z=z):}$
scrivendo gli estremi in questo modo:
${(0<=z<=2),(-\pi/2<=\theta<=\pi/2),(0<=\rho<=sqrt(2)/2):}$
Ho sbagliato nel fare così?
Grazie
questa volta ho un dubbio nell'impostare l'integrale e i suoi estremi di integrazione.
$int int_S (xsqrt(z))/(4x^2+y^2) dS$ con $S={(z=4(x^2+y^2)),(x>=0),(0<=z<=2):}$
Che se non sbaglio dovrebbe corrispondere a questa parte di paraboloide:
(anche se l'ho disegnata un pò "larga")
Ho pensato di usare le coordinate cilindriche in questo modo:
${(x=\rhocos\theta),(y=\rhosin\theta),(z=z):}$
scrivendo gli estremi in questo modo:
${(0<=z<=2),(-\pi/2<=\theta<=\pi/2),(0<=\rho<=sqrt(2)/2):}$
Ho sbagliato nel fare così?
Grazie
Risposte
A me pare tutto corretto!
Mi è venuto in mente mentro ero a lezione, ma facendo a quel modo non calcolo il volume che è racchiuso nella parte interna della parte di paraboloide?
Non dovrei mettere queste condizioni?
${(0<=z<=2),(-\pi/2<=\theta<=\pi/2),(\rho=sqrt(z)/2):}$
rimangono identici i primi due intervalli mentre fisso $\rho$ per ogni valore di $z$; invece che integrarlo da $0$
Non dovrei mettere queste condizioni?
${(0<=z<=2),(-\pi/2<=\theta<=\pi/2),(\rho=sqrt(z)/2):}$
rimangono identici i primi due intervalli mentre fisso $\rho$ per ogni valore di $z$; invece che integrarlo da $0$
Stai cercando il volume, se fissi $rho$ a mio parere ottieni la sola superficie...
"Lord K":
Stai cercando il volume, se fissi $rho$ a mio parere ottieni la sola superficie...
Sì, era quello che cercavo di fare; ho rincontrollato il testo dell'esercizio e ho riscritto l'integrale di partenza visto che lo avevo copiato male.
Anche in questo modo cerco il volume? (ti ringrazio per le risposte
)
No, il volume a mio parere è con $rho in [0,sqrt(2)/2]$ non solo la curva con $rho=sqrt(2)/2$! Se tu ponessi questa limitazione è come se al punto iniziale avessi $z=2$ che non è corretto. Infatti:
$rho^2=x^2+y^2=z/4$
$rho^2=x^2+y^2=z/4$
>.<
Non mi sono espresso bene >.>
Quando dicevo "era quello che cercavo di fare" lo dicevo nel senso che volevo cercare di ottenere la superficie.
Nella definizione di $\rho$ ho scritto $sqrt(z)$ non $sqrt(2)$.
Quindi anche se integro in $int int_S f(x,y,z)dS$ voglio il volume?
Pensavo dovessi integrale quella funzione sulla superficie che mi definiva in S e non nel volume dato da quella superficie.
Non mi sono espresso bene >.>
Quando dicevo "era quello che cercavo di fare" lo dicevo nel senso che volevo cercare di ottenere la superficie.
Nella definizione di $\rho$ ho scritto $sqrt(z)$ non $sqrt(2)$.
Quindi anche se integro in $int int_S f(x,y,z)dS$ voglio il volume?
Pensavo dovessi integrale quella funzione sulla superficie che mi definiva in S e non nel volume dato da quella superficie.
..o forse sono io duro d'orecchi 
Alla tua domanda la risposta è sì, cerchi il volume. Perdona il misunderstanding.
Alla tua domanda la risposta è sì, cerchi il volume. Perdona il misunderstanding.
Figurati Ti ringrazio per i chiarimenti.
Però sono profondamente turbato.... meglio che vado a ripassarmi la teoria, ero convinto che dovessi integrare solo i valori che assumeva sulla superficie XDD
Mi metto al lavoro
Edit: penso che l'intervallo di $\rho$ sia $[0,sqrt(z)/2]$ invece che $[0,sqrt(2)/2]$
Ti ringrazio per i chiarimenti. Però sono profondamente turbato.... meglio che vado a ripassarmi la teoria, ero convinto che dovessi integrare solo i valori che assumeva sulla superficie XDD
Mi metto al lavoro
Edit: penso che l'intervallo di $\rho$ sia $[0,sqrt(z)/2]$ invece che $[0,sqrt(2)/2]$
Sei sicuro che la funzione sia quella o non ti sia dimenticato una parentesi al denominatore? Cmq stavi facendo giusto prima, è un itnegrali di superficie, quindi devi integrale sulal superficie non sul volume...questi tipi di itnegrali si svolgono scrivendo l'elemento di superficie dS come determinante che rappresenterebbe il prodotto vettoriale tra i due lati infinitesimi del parallelogramma dS, che ti darebbe appunto l'area di tale parallelogramma...
Sei sicuro che la funzione sia quella o non ti sia dimenticato una parentesi al denominatore? Cmq stavi facendo giusto prima, è un integrale di superficie, quindi devi integrale sulal superficie non sul volume...questi tipi di itnegrali si svolgono scrivendo l'elemento di superficie dS come modulo del determinante che rappresenterebbe il prodotto vettoriale tra i due lati infinitesimi del parallelogramma dS, che ti darebbe appunto l'area di tale parallelogramma...
Mach, ti perdi in un bicchier d'acqua.
Ricorda la formula:
$\int_S f(x,y,z)" d"S:=\int_U f(x(theta,rho),y(theta,rho),z(theta,rho))*|N(theta,rho)|" d"theta"d"rho$
in cui $N(theta,rho)$ è il vettore normale ad $S$ indotto dalla parametrizzazione $phi(theta,rho):=( x(theta,rho),y(theta,rho),z(theta,rho))$ (e si trova facendo il prodotto vettoriale dei vettori derivati $phi_theta, phi_rho$) sull'intervallo base $U\subseteq RR^2$ e $|\cdot|$ è il modulo in $RR^3$.
Inoltre, per quanto riguarda la parametrizzazione, tieni presente che per descrivere la tua superficie in coordinate cilindriche basta prendere $z=4rho^2$ (questa la ricavi dall'equazione della superficie $z=4(x^2+y^2)$).
Ricorda la formula:
$\int_S f(x,y,z)" d"S:=\int_U f(x(theta,rho),y(theta,rho),z(theta,rho))*|N(theta,rho)|" d"theta"d"rho$
in cui $N(theta,rho)$ è il vettore normale ad $S$ indotto dalla parametrizzazione $phi(theta,rho):=( x(theta,rho),y(theta,rho),z(theta,rho))$ (e si trova facendo il prodotto vettoriale dei vettori derivati $phi_theta, phi_rho$) sull'intervallo base $U\subseteq RR^2$ e $|\cdot|$ è il modulo in $RR^3$.
Inoltre, per quanto riguarda la parametrizzazione, tieni presente che per descrivere la tua superficie in coordinate cilindriche basta prendere $z=4rho^2$ (questa la ricavi dall'equazione della superficie $z=4(x^2+y^2)$).
Ma oltre all'elemento di superficie dS non devo moltiplicarci lo jacobiano dato dal cambio di coordinate?
Il fattore di scala è proprio $|N(theta,rho)|=|(\partial phi)/(\partial theta)(theta,rho)\times (\partial phi)/(\partial rho)(theta,rho)|$ ($times$ è il prodotto vettoriale) per gli integrali di superficie.
Lo jacobiano serve quando cambi variabile negli integrali doppi/tripli. Qui stai facendo un integrale superficiale, che è un po' diverso.
P.S.: Mach ma che studi? Ingegneria di qualche tipo?
Lo jacobiano serve quando cambi variabile negli integrali doppi/tripli. Qui stai facendo un integrale superficiale, che è un po' diverso.
P.S.: Mach ma che studi? Ingegneria di qualche tipo?
Informatica e dell'automazione 
Meglio ripassare va
Meglio ripassare va
Ah, ecco... òplik 
Ti piace la signa?
Ricorda i vecchi tempi...
Ti piace la signa?
Ricorda i vecchi tempi...
Auahahah, si
Comunque vedo risolvere qualcosa e scriver poi i progressi
Allora vediamo se ho capito o se ancora mi manca qualcosa:
Cambio coordinate:
${(x=\rho cos\theta),(y=\rho sen\theta),(z=4\rho^2):}$ con ${(-\pi/2<=\theta<=\pi/2),(0<=\rho<=sqrt(2)/2):}$
Calcolo elemento di superficie dS dato dalla mia parametrizzazione:
$J=det[[\hat i,\hat j,\hat k],[cos\theta,sen\theta,8\rho],[-\rhosen\theta,\rhocos\theta,0]]$
= $-8\rho^2cos\theta * \hat i -8\rho^2sen\theta * \hat j + \rho * \hat k$
Quindi per averne il $|J|$ faccio:
$sqrt((-8\rho^2cos\theta)^2+(-8\rho^2sen\theta)^2+(\rho)^2) = sqrt(64\rho^4cos^2\theta+64\rho^4sen^2\theta+\rho^2)$
= $\rho sqrt(1+64 \rho^2)$
Quindi mi ritrovo con questo integrale:
$int_{-pi/2}^{pi/2}d\theta int_{0}^{sqrt(2)/2} (\rho cos\theta sqrt(4\rho^2))/(4(\rho cos\theta)^2 + (\rho sen\theta)^2) \rho sqrt(1+64 \rho^2)d\rho$
Giusto?
Comunque vedo risolvere qualcosa e scriver poi i progressi
Allora vediamo se ho capito o se ancora mi manca qualcosa:
Cambio coordinate:
${(x=\rho cos\theta),(y=\rho sen\theta),(z=4\rho^2):}$ con ${(-\pi/2<=\theta<=\pi/2),(0<=\rho<=sqrt(2)/2):}$
Calcolo elemento di superficie dS dato dalla mia parametrizzazione:
$J=det[[\hat i,\hat j,\hat k],[cos\theta,sen\theta,8\rho],[-\rhosen\theta,\rhocos\theta,0]]$
= $-8\rho^2cos\theta * \hat i -8\rho^2sen\theta * \hat j + \rho * \hat k$
Quindi per averne il $|J|$ faccio:
$sqrt((-8\rho^2cos\theta)^2+(-8\rho^2sen\theta)^2+(\rho)^2) = sqrt(64\rho^4cos^2\theta+64\rho^4sen^2\theta+\rho^2)$
= $\rho sqrt(1+64 \rho^2)$
Quindi mi ritrovo con questo integrale:
$int_{-pi/2}^{pi/2}d\theta int_{0}^{sqrt(2)/2} (\rho cos\theta sqrt(4\rho^2))/(4(\rho cos\theta)^2 + (\rho sen\theta)^2) \rho sqrt(1+64 \rho^2)d\rho$
Giusto?
Semplificaaaaaaaaaaaaaaaa!!!
Si si ora lo faccio XD
Era per aver un rapido confronto con le sostituzioni fatte XD
$int cos\theta/(4cos^2\theta + sen^2\theta) d\theta int 2 \rho sqrt(1+64\rho^2) d\rho$
Ora cerco di svolgerli uno alla volta:
$int (cos\theta d\theta)/(4cos^2\theta+sen^2\theta)$
$int (cos\theta d\theta)/(4-4sen^2\theta+sen^2\theta)$
$int (cos\theta d\theta)/(4-3sen^2\theta)$
$-int (cos\theta d\theta)/(3sen^2\theta-4)$
$-1/3 int (cos\theta d\theta)/((sen\theta)^2-(2/sqrt(3))^2)$
Che, se non ho usato la tavola in maniera sbagliata, ho trovato la primitiva qui, e quindi mi ritrovo con:
$-1/3 * 1/2 *sqrt(3)/2 * [ln ((|sin\theta-2/sqrt(3)|)/(sen\theta+2/sqrt(3)))]_{-\pi/2}^{pi/2}
Seconda parte:
$int 2\rho sqrt(1+64\rho^2) d\rho$
$ 1/64 int 128 \rho (1+64 \rho^2)^(1/2) d\rho$
$1/64 * 2/3 * [(1+64 \rho^2)^(3/2)]_{0}^{sqrt(2)/2}$
Giusto? (mi sa che sbaglio nella prima parte
)
Era per aver un rapido confronto con le sostituzioni fatte XD
$int cos\theta/(4cos^2\theta + sen^2\theta) d\theta int 2 \rho sqrt(1+64\rho^2) d\rho$
Ora cerco di svolgerli uno alla volta:
$int (cos\theta d\theta)/(4cos^2\theta+sen^2\theta)$
$int (cos\theta d\theta)/(4-4sen^2\theta+sen^2\theta)$
$int (cos\theta d\theta)/(4-3sen^2\theta)$
$-int (cos\theta d\theta)/(3sen^2\theta-4)$
$-1/3 int (cos\theta d\theta)/((sen\theta)^2-(2/sqrt(3))^2)$
Che, se non ho usato la tavola in maniera sbagliata, ho trovato la primitiva qui, e quindi mi ritrovo con:
$-1/3 * 1/2 *sqrt(3)/2 * [ln ((|sin\theta-2/sqrt(3)|)/(sen\theta+2/sqrt(3)))]_{-\pi/2}^{pi/2}
Seconda parte:
$int 2\rho sqrt(1+64\rho^2) d\rho$
$ 1/64 int 128 \rho (1+64 \rho^2)^(1/2) d\rho$
$1/64 * 2/3 * [(1+64 \rho^2)^(3/2)]_{0}^{sqrt(2)/2}$
Giusto? (mi sa che sbaglio nella prima parte
)
Tutto giusto, Mach! 
Grassie
Bene così, ringrazio quelli che mi han seguito
Tanto non penso starò tanto a chieder di nuovo xDD
Bene così, ringrazio quelli che mi han seguito
Tanto non penso starò tanto a chieder di nuovo xDD
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