Integrale di superficie
Vorrei calcolare l'area della porzione di superficie cilindrica di equazione $x^2+y^2=2x$ che si trova dentro la sfera di equazione $x^2+y^2+z^2=4$.
Ho pensato di parametrizzare la superficie cilindrica con la parametrizzazione $p : [0,2\pi] \times RR$, $p(t,z)=(1+\cost,\sint,z)$.
La porzione di superficie cilindrica di cui voglio calcolare l'area,scritta in coordinate cilindriche, dovrebbe essere quella per cui $(1+\cost)^2+\sin^2t=2(1+\cost)$ e $(1+\cost)^2+\sin^2t+z^2 \le 4$, cioè quella per cui $z^2 \le 2(1-\cost)$ e $t \in [0,2\pi]$, ovvero quella per cui $-\sqrt(2)\sqrt(1-\cost) \le z \le \sqrt(2)\sqrt(1-\cost)$ e $t \in [0,2\pi]$.
Per calcolare l'elemento d'area osservo che $p_t(t,z) = (-\sint,\cost,0)$ e che $p_z(t,z) = (0,0,1)$, dunque $|p_t(t,z) \times p_z(t,z)| = | ( \cos t, \sin t, 0 ) | = 1$.
Dunque l'area che sto cercando di calcolare dovrebbe essere $A = \int_0^{2\pi} \int_{-\sqrt(2)\sqrt(1-\cost)}^{\sqrt(2)\sqrt(1-\cost)} 1 dz dt = \int_0^{2\pi} 2 \sqrt(2) \sqrt(1-\cost) dt = 16$.
Mi dareste una conferma?
Ho pensato di parametrizzare la superficie cilindrica con la parametrizzazione $p : [0,2\pi] \times RR$, $p(t,z)=(1+\cost,\sint,z)$.
La porzione di superficie cilindrica di cui voglio calcolare l'area,scritta in coordinate cilindriche, dovrebbe essere quella per cui $(1+\cost)^2+\sin^2t=2(1+\cost)$ e $(1+\cost)^2+\sin^2t+z^2 \le 4$, cioè quella per cui $z^2 \le 2(1-\cost)$ e $t \in [0,2\pi]$, ovvero quella per cui $-\sqrt(2)\sqrt(1-\cost) \le z \le \sqrt(2)\sqrt(1-\cost)$ e $t \in [0,2\pi]$.
Per calcolare l'elemento d'area osservo che $p_t(t,z) = (-\sint,\cost,0)$ e che $p_z(t,z) = (0,0,1)$, dunque $|p_t(t,z) \times p_z(t,z)| = | ( \cos t, \sin t, 0 ) | = 1$.
Dunque l'area che sto cercando di calcolare dovrebbe essere $A = \int_0^{2\pi} \int_{-\sqrt(2)\sqrt(1-\cost)}^{\sqrt(2)\sqrt(1-\cost)} 1 dz dt = \int_0^{2\pi} 2 \sqrt(2) \sqrt(1-\cost) dt = 16$.
Mi dareste una conferma?
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