Integrale di superficie
Ciao a tutti!
Sto risolvendo questo esercizio: calcolare l'area della superficie $S:{(x,y,z)\inR^3| y^2+z^2=a^2}$ che si proietta sul cerchio: $ x^2+y^2<=a^2 (a>0)$.
Io mi sono calcolato inizialmente il $dA$ che risulta essere $a/(sqrt(a^2-y^2)$.
Quindi avrei:
$2a\int\int_D1/sqrt(a^2-y^2)dxdy$
Ho provato ad applicare le coordinate polari ma non riesco a risolverlo.
Un aiuto?
Grazie
Sto risolvendo questo esercizio: calcolare l'area della superficie $S:{(x,y,z)\inR^3| y^2+z^2=a^2}$ che si proietta sul cerchio: $ x^2+y^2<=a^2 (a>0)$.
Io mi sono calcolato inizialmente il $dA$ che risulta essere $a/(sqrt(a^2-y^2)$.
Quindi avrei:
$2a\int\int_D1/sqrt(a^2-y^2)dxdy$
Ho provato ad applicare le coordinate polari ma non riesco a risolverlo.
Un aiuto?
Grazie
Risposte
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Ciao Dr.Hermann,
Anche a me risulta $8a^2 $ e senza neanche passare alle coordinate polari, basta osservare la simmetria delle funzioni coinvolte:
$ 2a \int\int_D 1/sqrt(a^2-y^2)\text{d}x\text{d}y = 8a \int \int_{D/4} 1/sqrt(a^2-y^2)\text{d}x\text{d}y = 8a \int_0^a [\int_0^{\sqrt{a^2 - x^2}} 1/sqrt(a^2-y^2) \text{d}y] \text{d}x = $
$ = 8a \int_0^a [arctan(y/\sqrt(a^2 - y^2))]_0^{\sqrt{a^2 - x^2}} \text{d}x = 8a \int_0^a arctan(\sqrt{a^2 - x^2}/x) \text{d}x = $
$ = 8a [x arctan(\sqrt(a^2 - x^2)/x) - \sqrt(a^2 - x^2)]_0^a = 8a^2 $
"Dr.Hermann":
Ho provato ad applicare le coordinate polari ma non riesco a risolverlo.
Anche a me risulta $8a^2 $ e senza neanche passare alle coordinate polari, basta osservare la simmetria delle funzioni coinvolte:
$ 2a \int\int_D 1/sqrt(a^2-y^2)\text{d}x\text{d}y = 8a \int \int_{D/4} 1/sqrt(a^2-y^2)\text{d}x\text{d}y = 8a \int_0^a [\int_0^{\sqrt{a^2 - x^2}} 1/sqrt(a^2-y^2) \text{d}y] \text{d}x = $
$ = 8a \int_0^a [arctan(y/\sqrt(a^2 - y^2))]_0^{\sqrt{a^2 - x^2}} \text{d}x = 8a \int_0^a arctan(\sqrt{a^2 - x^2}/x) \text{d}x = $
$ = 8a [x arctan(\sqrt(a^2 - x^2)/x) - \sqrt(a^2 - x^2)]_0^a = 8a^2 $
"sellacollesella":
Sto studiando anch'io 'ste cose, quindi prendi tutto con le pinze:
[*:2onv7mbj] innanzitutto noterei che il dominio d'integrazione gode della simmetria \(\mathcal{S}(x,\,y,\,z) = (-x,\,-y,\,-z)\) e rispetto a tale simmetria l'integranda (unitaria) è indubbiamente una funzione pari, quindi puoi ridurti ad integrare sulla parte di \(\Sigma\) con \(x \ge 0\), \(y \ge 0\), \(z \ge 0\) e poi moltiplicare tutto per \(2^3\);
[/*:m:2onv7mbj]
[*:2onv7mbj] vista la simmetria di \(\Sigma\) parametrizzerei con \(\mathbf{r}(u,\,v) = (u,\,a\cos(v),\,a\sin(v))\), dove a questo punto è anche facilitata la determinazione degli intervalli in cui spaziano i parametri \(u\) e \(v\).[/*:m:2onv7mbj][/list:u:2onv7mbj]
In tal modo il tutto si riduce al calcolo di un paio di integrali elementari in $u$ e $v$ (ho ottenuto \(8a^2\)).
Ciao Sellacollesella!
Scusa il ritardo della risposta.
Comunque, a me l'integrale non viene $8a^2$, ti mostro quello che ho fatto.
Dopo le tue indicazioni mi sono calcolato il $d\sigma$ e mi viene $a$.
Dopo ho impostato l'integrale doppio ma non so se ho messo bene gli estremi.
$u\in[0,a]$ e $v\in[0,2pi]$. Ma non mi viene quel risultato. Potresti mettermi qualche passaggio giusto per vedere dove sbaglio?
Grazie!
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Grazie, ho fatto velocemente i calcoli e si gli estremi vengono anche a me cosi.
Il problema era sostanzialmente che non ho notato la simmetria e quindi non ho posto $x>=0,y>=0,z>=0$.
A parte l'altro metodo suggerito da Pilloeffe, se non avessi notato la simmetria sarei potuto arrivare al medesimo risultato? Dico utilizzando il metodo della parametrizzazione come in questo caso..
Il problema era sostanzialmente che non ho notato la simmetria e quindi non ho posto $x>=0,y>=0,z>=0$.
A parte l'altro metodo suggerito da Pilloeffe, se non avessi notato la simmetria sarei potuto arrivare al medesimo risultato? Dico utilizzando il metodo della parametrizzazione come in questo caso..
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grazie di tutto!
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