Integrale di superficie

[Dr.Hermann]

Ciao a tutti!

Ho svolto questo integrale di superficie ma come risultato finale ottengo zero, il che è al quanto strano. L'esercizio chiede: calcolare l'integrale di superficie:

$\intint_\Sigma xy^2 d\Sigma$ sulla sfera $\Sigma: x^2+y^2+z^2=a^2$

Passaggi:
1 $z=\pmsqrt(a^2-x^2-y^2)$, ma a me basta calcolarne una sola, moltiplicherò di seguito per due l'integrale.
2 $d\Sigma= sqrt(a^2/(a^2-x^2-y^2))dxdy$
3 Utilizzo le coordinate polari per il dominio: $x=\rho cos\theta; y= \rho sin\theta$
4 Inserendo anche lo Jacobiano: $2a \int_0^a\int_0^(2pi) \rho^4cos\theta sin^2\theta sqrt(1/(a^2-\rho^2)) d\rhod\theta$

Solo che l'integrale: $\int_0^(2pi) cos\theta sin^2\theta d\theta$ mi fa zero, annullando tutto l'integrale.
Dove ho sbagliato?

Grazie!

[anonymous_0b37e9]

Deve essere nullo anche per considerazioni di simmetria:

1. La superficie sferica è simmetrica rispetto al piano $yz$.
2. La funzione integranda è "dispari" rispetto al medesimo piano:

$f(-x,y,z)=-f(x,y,z)$

Più intuitivamente, per ogni contributo positivo nel semispazio $x gt 0$ esiste un contributo simmetrico negativo nel semispazio $x lt 0$.

[Dr.Hermann]

Hai ragione, potevo evitarmi un sacco di conti. Grazie