Integrale di superficie?
Calcolare \(\int_M \text f\) con \(M={(x,y,z) in R^3 | x^2 + y^2 + z^2 = 4}\) e \(f(x,y,z)=(x^2)(y^2)(z^2)\)
Qualcuno potrebbe darmi una mano con questo esercizio? Sarebbe un integrale di superficie? Se si, qualcuno potrebbe indicarmi il metodo di risoluzione corretto? Per favore sono veramente in crisi...
Qualcuno potrebbe darmi una mano con questo esercizio? Sarebbe un integrale di superficie? Se si, qualcuno potrebbe indicarmi il metodo di risoluzione corretto? Per favore sono veramente in crisi...
Risposte
Un integrale di superficie si risolve usando una formula ben nota. La conosci?
Ciao ce88 e ben iscritta/o sul forum.
Puoi togliere la parola "urgente" dal titolo*? Qui nessuno ha fretta.
*Usa il tasto modifica in alto a destra.
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@gio73: Si scusa modifico subito.
@ciampax: no, infatti il mio dilemma innanzitutto è se quello che ho scritto è un integrale di superficie e in caso quale formula si usa per risolverlo; altrimenti se gentilmente mi dite di cosa si tratta e un eventuale metodo di risoluzione...senza calcoli ovviamente, solo per sapere come muovermi dal punto di vista "teorico" e di "formule"...Grazie
@ciampax: no, infatti il mio dilemma innanzitutto è se quello che ho scritto è un integrale di superficie e in caso quale formula si usa per risolverlo; altrimenti se gentilmente mi dite di cosa si tratta e un eventuale metodo di risoluzione...senza calcoli ovviamente, solo per sapere come muovermi dal punto di vista "teorico" e di "formule"...Grazie
L'integrale è di superficie. Se la superficie è parametrizzata da $r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)),\ u\in[a,b],\ v\in[c,d]$ allora, dette $r_u,\ r_v$ le derivate parziali e indicato con $N=r_u\times r_v$ il vettore normale (qui $\times$ rappresenta il prodotto vettoriale) allora
$\int_M f(x,y,z)\ d\sigma=\int_a^b\int_c^d f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\cdot ||N||\ dv\ du$
dove $||N||$ indica il modulo di $N$.
$\int_M f(x,y,z)\ d\sigma=\int_a^b\int_c^d f(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\cdot ||N||\ dv\ du$
dove $||N||$ indica il modulo di $N$.
Grazie per la risposta. Quindi per risolvere l'esercizio dovrei passare a \((u,v) = (r cos(u) sin(v), r cos(u) cos(v), sen(u)), u∈[0,π] , v∈[0,2π]\) con \(r\) raggio della sfera? E poi riscrivere l'integrale come integrale doppio con le dovute sostituzioni?
Sì.
Ok...\(||N||\) invece sarebbe la radice quadrata di (\(r_u)^2 + (r_v)^2\), cioè la radice della somma dei quadrati delle derivate parziali?
Sì....
Ok...Quindi per risolvere il mio problema devo risolvere l'integrale:
\( \int_0^π \int_0^{2\pi} 16sen^2(u)cos^2(u)sen^2(v)cos^2(v) * \sqrt{(rcos^2(u)sen(v))^2 - (-rcos^2(u)cos(v))^2 + (r^2sen(u)cos(u)} du dv\) ?? Forse ho sbagliato \(\||N||\)...
\( \int_0^π \int_0^{2\pi} 16sen^2(u)cos^2(u)sen^2(v)cos^2(v) * \sqrt{(rcos^2(u)sen(v))^2 - (-rcos^2(u)cos(v))^2 + (r^2sen(u)cos(u)} du dv\) ?? Forse ho sbagliato \(\||N||\)...
Due domande: 1) perché ti porti appresso $r$? In questo caso $r=2$...
2) come diavolo hai calcolato $N$? Su una sfera, la normale coincide con il vettore posizione $(x,y,z)$, per cui quanto vale la sua norma?
2) come diavolo hai calcolato $N$? Su una sfera, la normale coincide con il vettore posizione $(x,y,z)$, per cui quanto vale la sua norma?
Scusa ma sono andato un po in confusione...Ma le formule di parametrizzazione che ho scritto sono giuste? Forse manca \(r\) alla z...puoi controllare per favore?
Scusate l'intromissione, non ho letto i vostri scambi, ma volevo rispondere alla domanda di Ciampax
Quanto il raggio della sfera?
"ciampax":
Su una sfera, la normale coincide con il vettore posizione $(x,y,z)$, per cui quanto vale la sua norma?
Quanto il raggio della sfera?
@gio: Yes! 
@ce88: la parametrizzazione da usare è questa:
$(2\cos u\sin v,\ 2\sin u\sin v,\ 2\cos v),\qquad u\in[0,2\pi),\ v\in[0,\pi]$
@ce88: la parametrizzazione da usare è questa:
$(2\cos u\sin v,\ 2\sin u\sin v,\ 2\cos v),\qquad u\in[0,2\pi),\ v\in[0,\pi]$
@gio73: tranquillo, anzi con la tua "intromissione" mi hai tolto pure un dubbio...
@ciampax: infatti mi era venuto in mente che ci fosse un errore...quindi il mio integrale alla fine diventerà:
\(\int_0^π \int_0^{2\pi} 128sen^2(u)cos^2(u)sen^4(v)cos^2(v) du dv\) che se non ho fatto male i conti (probabile) è \(2\pi^2\) ??
@ciampax: infatti mi era venuto in mente che ci fosse un errore...quindi il mio integrale alla fine diventerà:
\(\int_0^π \int_0^{2\pi} 128sen^2(u)cos^2(u)sen^4(v)cos^2(v) du dv\) che se non ho fatto male i conti (probabile) è \(2\pi^2\) ??
Corretto.
Ti ringrazio per l'aiuto, non riuscivo proprio a venirne a capo. Un'ultima cosa, i miei appunti sull'argomento sono un po confusionari 
, secondo te la definizione di integrale di superficie potrebbe essere la seguente:
Sia \(A\) un insieme aperto, sia \(M=\varphi(A)\) una superficie regolare, e sia \(f:M\to R\) una funzione continua e limitata, chiamerò integrale di superficie \(\int_Mf = \int_Af(\varphi(s,t))\sqrt{det(J_\varphi(s,t)*J_\varphi^T(s,t))} ds dt\)?? Dovrebbe essere più o meno quella che mi hai scritto tu, o sbaglio?
, secondo te la definizione di integrale di superficie potrebbe essere la seguente:Sia \(A\) un insieme aperto, sia \(M=\varphi(A)\) una superficie regolare, e sia \(f:M\to R\) una funzione continua e limitata, chiamerò integrale di superficie \(\int_Mf = \int_Af(\varphi(s,t))\sqrt{det(J_\varphi(s,t)*J_\varphi^T(s,t))} ds dt\)?? Dovrebbe essere più o meno quella che mi hai scritto tu, o sbaglio?
Sì, è quello.
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