Integrale di superficie

[kateledger]

Scusate mi potreste aiutare con questo integrale superficiale? In realtà il problema è l'integrale nella parte finale ...Non mi torna l'intervallo di integrazione e la seconda parte dell'integrale, eppure la procedura dovrebbe essere corretta
\( Σ= \{ \sqrt{2*x*y}=z , 0

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Risposte

lordb

27 dic 2012, 10:51

Ciao,dove è la funzione integranda ?

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kateledger

27 dic 2012, 11:03

praticamente dovresti fare l'integrale doppio della norma del vettore normale di \( ( x, y , \sqrt{2*x*y} \) .. Poi io ho sostituito x e y con le coordinate polari ,ma non mi torna il risultato ...

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lordb

27 dic 2012, 11:06

Quindi se ho capito bene ti chiede l'area di quella superficie ?

p.s. qual è il risultato ?

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kateledger

27 dic 2012, 11:10

esatto! Il risultato è\( (4*\sqrt{2}) / 3 \)

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lordb

27 dic 2012, 11:46

Ottimo,

allora la sottovarietà $2$-dimensionale in $RR^3$ è:

$Sigma={(x,y,z)inRR^3|0
In questo caso $Sigma$ può essera vista come una (iper)superficie cartesiana di equazione:

$z=sqrt(2*x*y)|(x,y)in[0,1]\times[0,1]$

In altre parole definita la funzione:

$F:[0,1]\times[0,1]->RR,(x,y)->sqrt(2*x*y)$

si ha che $Sigma=grf(F)$

In questi casi si utilizza la parametrizzazione in misura canonica:

$psi:[0,1]\times[0,1]->Sigma,(u,v)->(u,v,F(u,v))$

L'utilità di questa è che si dimostra subito che: $||(vec (partial psi))/(partial u) ^^(vec (partial psi))/(partial v)||=sqrt(1+((partialF)/(partialu))^2+((partialF)/(partialv))^2)=sqrt(1+v/(2u)+u/(2v))$

Quindi:

$mis(Sigma)=int_(Sigma)1*ds_2=intint_([0,1]\times[0,1])sqrt(1+v/(2u)+u/(2v))dudv=1/sqrt(2)*intint_([0,1]\times[0,1])sqrt((u+v)^2/(u*v))dudv=$

$=1/sqrt(2)*intint_([0,1]\times[0,1])(u+v)/(sqrt(u)*sqrt(v))dudv=1/sqrt(2)*intint_([0,1]\times[0,1])[u/(sqrt(u)*sqrt(v))+v/(sqrt(u)*sqrt(v))]dudv=$

$=1/sqrt(2)*intint_([0,1]\times[0,1])[sqrt(u)/sqrt(v)+sqrt(v)/sqrt(u)]dudv=1/sqrt(2)*[intint_([0,1]\times[0,1])sqrt(u)/sqrt(v)dudv+*intint_([0,1]\times[0,1])sqrt(v)/sqrt(u)dudv]=$

$=1/sqrt(2)*[4/3+4/3]=8/3*sqrt(2)/2=(4*sqrt(2))/3$

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kateledger

27 dic 2012, 12:13

Grazie mille! Ho capito il mio errore !

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lordb

27 dic 2012, 12:17

Di niente

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[lordb]

Ciao,dove è la funzione integranda ?

[kateledger]

praticamente dovresti fare l'integrale doppio della norma del vettore normale di \( ( x, y , \sqrt{2*x*y} \) .. Poi io ho sostituito x e y con le coordinate polari ,ma non mi torna il risultato ...

[lordb]

Quindi se ho capito bene ti chiede l'area di quella superficie ?

p.s. qual è il risultato ?

[kateledger]

esatto! Il risultato è\( (4*\sqrt{2}) / 3 \)

[lordb]

Ottimo,

allora la sottovarietà $2$-dimensionale in $RR^3$ è:

$Sigma={(x,y,z)inRR^3|0
In questo caso $Sigma$ può essera vista come una (iper)superficie cartesiana di equazione:

$z=sqrt(2*x*y)|(x,y)in[0,1]\times[0,1]$

In altre parole definita la funzione:

$F:[0,1]\times[0,1]->RR,(x,y)->sqrt(2*x*y)$

si ha che $Sigma=grf(F)$

In questi casi si utilizza la parametrizzazione in misura canonica:

$psi:[0,1]\times[0,1]->Sigma,(u,v)->(u,v,F(u,v))$

L'utilità di questa è che si dimostra subito che: $||(vec (partial psi))/(partial u) ^^(vec (partial psi))/(partial v)||=sqrt(1+((partialF)/(partialu))^2+((partialF)/(partialv))^2)=sqrt(1+v/(2u)+u/(2v))$

Quindi:

$mis(Sigma)=int_(Sigma)1*ds_2=intint_([0,1]\times[0,1])sqrt(1+v/(2u)+u/(2v))dudv=1/sqrt(2)*intint_([0,1]\times[0,1])sqrt((u+v)^2/(u*v))dudv=$

$=1/sqrt(2)*intint_([0,1]\times[0,1])(u+v)/(sqrt(u)*sqrt(v))dudv=1/sqrt(2)*intint_([0,1]\times[0,1])[u/(sqrt(u)*sqrt(v))+v/(sqrt(u)*sqrt(v))]dudv=$

$=1/sqrt(2)*intint_([0,1]\times[0,1])[sqrt(u)/sqrt(v)+sqrt(v)/sqrt(u)]dudv=1/sqrt(2)*[intint_([0,1]\times[0,1])sqrt(u)/sqrt(v)dudv+*intint_([0,1]\times[0,1])sqrt(v)/sqrt(u)dudv]=$

$=1/sqrt(2)*[4/3+4/3]=8/3*sqrt(2)/2=(4*sqrt(2))/3$

[kateledger]

Grazie mille! Ho capito il mio errore !

[lordb]

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