Integrale di superficie

[lex1531]

testo dell'esercizio:

$A$ intesa come superficie tratteggiata
$ int int_A (y/x)^4 dx dy $

ho pensato di trasformarla in coordinate polari che mi sembra piu semplice e considero solo il pezzo al di sopra delle $x$ in quanto è simmetrico, quindi normale rispetto ad $x$, ottengo

$ -1
l'integrale in polari diventa: $ int int_A ((rhosintheta)/(rhocostheta))^4 drho d theta rarr int_A int ((sintheta)/(costheta))^4 drho d theta rarr int_A int (tantheta)^4 drho d theta $

quindi: $ int^(-1/2)_-1 drho int^(3/4pi)_0 (tantheta)^4 d theta $

ed ora ho dei problemi a risolvere il secondo integrale

[Quinzio]

Devi provare la trasformazione

$bb\Phi:(u,v)->(x,y)=(y/x,xy)$

[Raptorista1]

"lex153":
$ -1
Questo è drammaticamente sbagliato!!

Edit: mi è anche caduto l'occhio sul fatto che cambi coordinate senza inserire il fattore di scala!

[lex1531]

ops! qual'e il modo giusto quindi?

[Raptorista1]

Qual è la definizione di \(\rho\)? Ed il suo segno?

[lex1531]

io pensavo $rho$ fosse la distanza dal centro polare che in questo caso era $(0,0)$

[Raptorista1]

Ancora meglio: qual è il primo assioma della distanza?
Per farla breve,
\[
\rho = \sqrt{x^2 + y^2} \ge 0.
\]

[lex1531]

quindi $rho$ deve essere compreso tra $(1/2 , 1)$

ma comunque poi mi troverò a svolgere quell'integrale

edit: cosa intendi per fattore di scala?

[Raptorista1]

"lex153":
edit: cosa intendi per fattore di scala?

Se uno confrontasse termine a termine gli integrali che hai scritto, sarebbe portato a pensare che \(dxdy = d\rho d \theta\).
Ma non è certo questa la verità, dico bene??

[lex1531]

certo dici bene:D
ma pensavo che questo fosse gia previsto nel cambio di coordinate, no?

[Raptorista1]

Se non c'è nelle formule, non esiste!
E se ti mettessi a misurare \(\theta\) nel verso contrario? Otterresti che l'integrale ha segno opposto, ed un integrale non può avere due valori distinti!

Se non ti sembra che manchi un pezzo, da qualche parte in quell'integrale, è il caso di riprendere in mano il libro di testo!