Integrale di (sinx/x)^2
e' ormai un pò che ci riprovo, ma non riesco a trovare un modo per calcolare
$int_(-oo)^(+oo) (sin^2(x))/(x)^2 dx$
provo ad utilizzare il teorema dei residui, ma non trovo il giusto cammino di integrazione che mi permetta di isolare la quantità che mi interessa, in funzione di altre calcolabili, su altri tratti del cammino stesso (ammesso che si proceda così
).
Qualcuno può suggerirmi la strada o indicarmi dove trovare lo svolgimento?
Grazie per l'attenzione.
$int_(-oo)^(+oo) (sin^2(x))/(x)^2 dx$
provo ad utilizzare il teorema dei residui, ma non trovo il giusto cammino di integrazione che mi permetta di isolare la quantità che mi interessa, in funzione di altre calcolabili, su altri tratti del cammino stesso (ammesso che si proceda così
).Qualcuno può suggerirmi la strada o indicarmi dove trovare lo svolgimento?
Grazie per l'attenzione.
Risposte
Ciao, potresti usare la relazione $\sin^2 x = \frac{1-\cos 2x}{2}$ e provare a calcolare l'integrale $\int_C \frac{1-e^{2iz}}{2z^2} dz$ utilizzando il teorema dei residui, sfruttando ad esempio un cammino $C$ della forma
Ti ringrazio per la risposta, chiedo scusa per l'insistenza, ma purtroppo non ci riesco. Mostro come sto cercando di procedere (cercherò di essere essenziale)
Sia $Lambda$ il percorso che mi hai suggerito, :
$ int_Lambda(1-e^(2iz))/(2z^2) dz = int_-R^-rho + int_rho^R + int_Gamma + int_gamma = 0 $ poichè la funzione integranda è olomorfa nel dominio individuato dal sostegno di questa curva.
Ora, è $lim_(R->oo) int_Gamma =0$ per il lemma di Jordan.
Nello stesso limite, insieme a quello per $ delta ->0$ raggio della semicirconferenza piccola, resta
$int_-oo^(+oo) = - lim_delta->0 int_gamma$
Che è appunto ciò che mi serve.
A questo punto i problemi sono :
1 - Non sono sicurissimo di poter accorpare quei due integrali $ int_-R^-rho + int_rho^R $ al limite $ R->oo , delta->0 $ in quel modo (così facendo ottengo la p.v. dell'integrale che sto cercando?)
2 - Problema di calcolo dell 'integrale $int_gamma$. Esplicitando la parametrizzazione di $gamma$ nell'integrale, arrivo ad un vicolo cieco. Se mi dite che fin qui è giusto, esplicito l'integrale per intero.
Grazie per l'attenzione
Sia $Lambda$ il percorso che mi hai suggerito, :
$ int_Lambda(1-e^(2iz))/(2z^2) dz = int_-R^-rho + int_rho^R + int_Gamma + int_gamma = 0 $ poichè la funzione integranda è olomorfa nel dominio individuato dal sostegno di questa curva.
Ora, è $lim_(R->oo) int_Gamma =0$ per il lemma di Jordan.
Nello stesso limite, insieme a quello per $ delta ->0$ raggio della semicirconferenza piccola, resta
$int_-oo^(+oo) = - lim_delta->0 int_gamma$
Che è appunto ciò che mi serve.
A questo punto i problemi sono :
1 - Non sono sicurissimo di poter accorpare quei due integrali $ int_-R^-rho + int_rho^R $ al limite $ R->oo , delta->0 $ in quel modo (così facendo ottengo la p.v. dell'integrale che sto cercando?)
2 - Problema di calcolo dell 'integrale $int_gamma$. Esplicitando la parametrizzazione di $gamma$ nell'integrale, arrivo ad un vicolo cieco. Se mi dite che fin qui è giusto, esplicito l'integrale per intero.
Grazie per l'attenzione
Sì, ciò che ottieni è l'integrale a valor principale. Per quanto riguarda il secondo problema, definiamo [tex]\mathbb C \setminus \{0\} \ni z \mapsto f(z) := \frac{1-e^{2iz}}{z^2}[/tex] e la parametrizzazione dell'arco di cerchio piccolo (consideriamolo orientato in senso antiorario) data da [tex][0,\pi] \ni \theta \mapsto \gamma_\delta(\theta) := \delta e^{i\theta}[/tex]. Vogliamo calcolare [tex]\lim_{\delta \to 0^+} \int_{\gamma_\delta} f(z) dz[/tex]. Volendo si può utilizzare il cosiddetto lemma dell'arco di cerchio piccolo, altrimenti si può direttamente ragionare nel modo seguente: definiamo
[tex]\mathbb C \setminus \{0\} \ni z \mapsto g(z) := f(z) - \frac{\mbox{Res}(f,0)}{z}[/tex]
Si vede subito che
[tex]\lim_{z \to 0} zg(z) = 0[/tex]
Allora
[tex]\int_{\gamma_\delta} f(z) dz = \int_{\gamma_\delta} g(z) dz + \int_{\gamma_\delta} \frac{\mbox{Res}(f,0)}{z}dz[/tex]
Il secondo integrale lo calcoli facilmente e vale [tex]\pi i \mbox{Res}(f,0)[/tex], mentre per il primo puoi osservare che
[tex]| \int_{\gamma_\delta} g(z) dz| \leq \pi \delta \max \{|g(\delta e^{i\theta})| : \theta \in [0,\pi]\} \to 0[/tex] per [tex]\delta \to 0[/tex].
Quindi in definitiva
[tex]\lim_{\delta \to 0^+} \int_{\gamma_\delta} f(z) dz = \pi i \mbox{Res}(f,0)[/tex]
[tex]\mathbb C \setminus \{0\} \ni z \mapsto g(z) := f(z) - \frac{\mbox{Res}(f,0)}{z}[/tex]
Si vede subito che
[tex]\lim_{z \to 0} zg(z) = 0[/tex]
Allora
[tex]\int_{\gamma_\delta} f(z) dz = \int_{\gamma_\delta} g(z) dz + \int_{\gamma_\delta} \frac{\mbox{Res}(f,0)}{z}dz[/tex]
Il secondo integrale lo calcoli facilmente e vale [tex]\pi i \mbox{Res}(f,0)[/tex], mentre per il primo puoi osservare che
[tex]| \int_{\gamma_\delta} g(z) dz| \leq \pi \delta \max \{|g(\delta e^{i\theta})| : \theta \in [0,\pi]\} \to 0[/tex] per [tex]\delta \to 0[/tex].
Quindi in definitiva
[tex]\lim_{\delta \to 0^+} \int_{\gamma_\delta} f(z) dz = \pi i \mbox{Res}(f,0)[/tex]
Siii, rbtqwt grazie alle tue indicazioni ce l'ho fatta, e mi hai suggerito pure un metodo che non conoscevo, grazie $10^3$!! 
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