Integrale di seconda specie
Sia C la curva nello spazio ottenuta dall'intersezione della sfera x2 + y2 + z2 = 1 e del piano y = z
orientata in modo che il versore (-1; 0; 0) sia tangente a C nel punto P di coordinate $ (0, 1/root2 2, 1/root2 2) $ .
Calcolare $ int_(C) w1+w2 $, dove $ w1=y^2dx+x^2dy+xdz $ e $ w2=(xdx)/(x^2+y^2+z^2)+(ydy)/(x^2+y^2+z^2)+(zdz)/(x^2+y^2+z^2) $ .
Qualcuno può aiutarmi? Il prof ha messo questo esercizio all'esame ma non avevamo mai afforntato questa tipologia. Io ho saputo solo scrivere la parametrizzazione di C e l'equazione della tangente in P
orientata in modo che il versore (-1; 0; 0) sia tangente a C nel punto P di coordinate $ (0, 1/root2 2, 1/root2 2) $ .
Calcolare $ int_(C) w1+w2 $, dove $ w1=y^2dx+x^2dy+xdz $ e $ w2=(xdx)/(x^2+y^2+z^2)+(ydy)/(x^2+y^2+z^2)+(zdz)/(x^2+y^2+z^2) $ .
Qualcuno può aiutarmi? Il prof ha messo questo esercizio all'esame ma non avevamo mai afforntato questa tipologia. Io ho saputo solo scrivere la parametrizzazione di C e l'equazione della tangente in P
Risposte
La curva si parametrizza mediante
$$\gamma(t)=\left(\cos(t),\sqrt{2}/2\sin(t),\sqrt{2}/2\sin(t)\right)\qquad-\pi\leq t\leq\pi$$
da cui
$$\gamma'(t)=\left(-\sin(t),\sqrt{2}/2\cos(t),\sqrt{2}/2\cos(t)\right).$$
-- in effetti se $t=\pi/2$ $\gamma(t)=(0,1/\sqrt{2},1/sqrt{2})$ e $\gamma'(t)=(-1,0,0)$. Allora
$$\int_\gamma\omega_1=\int_{-\pi}^{\pi}\left(\gamma_y^2(t),\gamma_x^2(t),\gamma_x(t)\right)\cdot\gamma'(t)dt=\int_{-\pi}^{\pi}\left(-1/2 \sin^3(t)+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos^3(t)+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(t)\sin(t)\right)dt=$$
(i pezzi dispari spariscono...)
$$\frac{2}{\sqrt{2}}\int_0^{\pi}\cos^3(t)dt=\frac{2}{\sqrt{2}}\int_0^{\pi}\cos(t)(1-\sin^2(t))dt=\frac{2}{\sqrt{2}}\int_{\sin(0)}^{\sin(\pi)}(1-x^2)dx=0$$
se non ho fatto errori di calcolo ...
La seconda forma $\omega_2$ è radiale dunque è esatta. Dato che il cammino è chiuso il suo integrale fa zero.
$$\gamma(t)=\left(\cos(t),\sqrt{2}/2\sin(t),\sqrt{2}/2\sin(t)\right)\qquad-\pi\leq t\leq\pi$$
da cui
$$\gamma'(t)=\left(-\sin(t),\sqrt{2}/2\cos(t),\sqrt{2}/2\cos(t)\right).$$
-- in effetti se $t=\pi/2$ $\gamma(t)=(0,1/\sqrt{2},1/sqrt{2})$ e $\gamma'(t)=(-1,0,0)$. Allora
$$\int_\gamma\omega_1=\int_{-\pi}^{\pi}\left(\gamma_y^2(t),\gamma_x^2(t),\gamma_x(t)\right)\cdot\gamma'(t)dt=\int_{-\pi}^{\pi}\left(-1/2 \sin^3(t)+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos^3(t)+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(t)\sin(t)\right)dt=$$
(i pezzi dispari spariscono...)
$$\frac{2}{\sqrt{2}}\int_0^{\pi}\cos^3(t)dt=\frac{2}{\sqrt{2}}\int_0^{\pi}\cos(t)(1-\sin^2(t))dt=\frac{2}{\sqrt{2}}\int_{\sin(0)}^{\sin(\pi)}(1-x^2)dx=0$$
se non ho fatto errori di calcolo ...
La seconda forma $\omega_2$ è radiale dunque è esatta. Dato che il cammino è chiuso il suo integrale fa zero.
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