Integrale di riemann-stieltjes
Sto studiando le funzioni a variazione limitata e l'integrale di Riemann-Stieltjes.
Date $f,g:[a,b]->\RR^d$, $\sigma=\{t_0,t_1,...,t_N\}$ con $a=t_0
e, se esiste, si definisce l'integrale di Riemann-Stieltjes
$\int_a^b f(t) * dg(t)=\lim_{|\sigma| ->0} S(f,g,\sigma,\tau)$ .
Un teorema afferma che
Se f è continua e g ha variazione limitata, allora
esiste $\int_a^b f(t) * dg(t)$ .
Per la dimostrazione si consiglia di usare il criterio di Cauchy, ovvero provare che
$|S(f,g,\sigma',\tau')-S(f,g,\sigma'',\tau'')| \rightarrow_{|\sigma'|,|\sigma''| ->0} 0$.
Ma io non ci riesco. Mi potete dare una mano o consigliare dove posso trovare la dimostrazione?
Date $f,g:[a,b]->\RR^d$, $\sigma=\{t_0,t_1,...,t_N\}$ con $a=t_0
e, se esiste, si definisce l'integrale di Riemann-Stieltjes
$\int_a^b f(t) * dg(t)=\lim_{|\sigma| ->0} S(f,g,\sigma,\tau)$ .
Un teorema afferma che
Se f è continua e g ha variazione limitata, allora
esiste $\int_a^b f(t) * dg(t)$ .
Per la dimostrazione si consiglia di usare il criterio di Cauchy, ovvero provare che
$|S(f,g,\sigma',\tau')-S(f,g,\sigma'',\tau'')| \rightarrow_{|\sigma'|,|\sigma''| ->0} 0$.
Ma io non ci riesco. Mi potete dare una mano o consigliare dove posso trovare la dimostrazione?
Risposte
Nel caso \(g\) monotona trovi la dimostrazione su Rudin, Principles, Thm. 6.8.
Il caso generale lo trovi ad esempio su Lang, Real and Functional Analysis, Ch. X, Prop. 1.5.
Il caso generale lo trovi ad esempio su Lang, Real and Functional Analysis, Ch. X, Prop. 1.5.
L'ho trovata e capita sul Lang. Grazie mille!
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