Integrale di Riemann- Stieltjes
Ciao a tutti.. Ho bisogno di un aiutino su un integrale di Rieman- Stieltjes.
Devo dire se esiste, e in caso affermativo calcolarlo, il seguente integrale di R-S
$\int_{-pi}^{pi} \chi_[0, \pi] (x) sinx d\chi_[0, \pi] (x)$
dove $\chi_[0,\pi]$ è la funzione caratteristica che vale 1 tra $[0, \pi]$ e 0 altrove.
Ho pensato di procedere così:
l'integrale di R-S
$\int_{a}^{b} f dg$ esiste se esiste il $lim_(P->0) \sum_{j=1}^n f(c_j)(g(t_j)-g(t_(j-1)))$
dove P è una partizione dell'intervallo [a,b] e $c_j in (t_j, t_(j-1)) $
Se considero come partizione $P= {-\pi, 0, \pi}$ nel calcolare il limite $g( \pi) - g(0) = 0$
e mi darà contributo solo $g(0)-g(-\pi) =1$
quindi $\int_{a}^{b} f dg$ si ridurrà a $lim_(P->0) f(c_j)*1 $
.. Considerato che la funzione caratteristica si annulla tra $[-\pi,0)[$ l'unico punto in cui ho contributo è x= 0
In 0, quindi, $f(0)= 1 * sin 0 = 0$
quindi il limite esiste e l'integrale vale 0.
E' così?? Non so perchè.. ma mi sembra che mi sia sfuggito qualcosa.. uff.. aiutatemi vi prego..
Devo dire se esiste, e in caso affermativo calcolarlo, il seguente integrale di R-S
$\int_{-pi}^{pi} \chi_[0, \pi] (x) sinx d\chi_[0, \pi] (x)$
dove $\chi_[0,\pi]$ è la funzione caratteristica che vale 1 tra $[0, \pi]$ e 0 altrove.
Ho pensato di procedere così:
l'integrale di R-S
$\int_{a}^{b} f dg$ esiste se esiste il $lim_(P->0) \sum_{j=1}^n f(c_j)(g(t_j)-g(t_(j-1)))$
dove P è una partizione dell'intervallo [a,b] e $c_j in (t_j, t_(j-1)) $
Se considero come partizione $P= {-\pi, 0, \pi}$ nel calcolare il limite $g( \pi) - g(0) = 0$
e mi darà contributo solo $g(0)-g(-\pi) =1$
quindi $\int_{a}^{b} f dg$ si ridurrà a $lim_(P->0) f(c_j)*1 $
.. Considerato che la funzione caratteristica si annulla tra $[-\pi,0)[$ l'unico punto in cui ho contributo è x= 0
In 0, quindi, $f(0)= 1 * sin 0 = 0$
quindi il limite esiste e l'integrale vale 0.
E' così?? Non so perchè.. ma mi sembra che mi sia sfuggito qualcosa.. uff.. aiutatemi vi prego..
Risposte
Il risultato è giusto anche se il calcolo non preciso (infatti che senso ha dire $P\to 0$ quando $P$ è una partizione fissata? -Ma questa può essere una svista...-).
Allora, usiamo la definizione.
Sia $P=\{ -pi=x_0,\ldots , x_(n+1) =pi\}$ una partizione di $[-pi,pi]$ (di modo che risulti $AAi =0,\ldots ,n,\ x_i=0$. Evidentemente si ha:
- $0 \in I^-$ e $n+1\in I^+$,
- $I=I^+ \cup I^-$ ed $I\ \setminus\{ n+1\}=\{0,\ldots ,n\}=I^(-) \cup (I^+ \setminus\{ n+1\})$,
- $I^+=I\ \setminus I^-$, cosicché in particolare è $I^+ \cap I^(-) =\emptyset$.
Costruiamo la generica somma integrale della funzione $f(x):=\chi_([0,pi])(x)sinx$ relativa alla partizione $P$ rispetto alla funzione a variazione limitata $g(x):=\chi_([0,pi])(x)$ (N.B.: tale funzione è monotona in $[-pi,pi]$ e quindi è a variazione limitata): per ogni $n\in \{ 0,ldots ,n\}$ scegliamo $c_i\in [x_i,x_(i+1)]$ e scriviamo:
$sigma(f;g;P)(c_0,\ldots ,c_n):=\sum_(i=0)^n f(c_i)(g(x_(i+1))-g(x_i))$
$\quad \quad =\sum_(i\in I\ \setminus\{ n+1\}) chi_([0,pi])(c_i)sinc_i *(\chi_([0,pi])(x_(i+1))-\chi_([0,pi])(x_i))$
$\quad \quad =\{ \sum_(i\in I^(-)) + \sum_(i\in I^(+)\setminus\{ n+1\})\}chi_([0,pi])(c_i)sinc_i *(\chi_([0,pi])(x_(i+1))-\chi_([0,pi])(x_i))$
(nell'ultimo passaggio ho usato una notazione un po' strana per un'operazione semplice: ho spezzato la sommatoria su $i\in I\ \setminus \{n+1\}=\{ 0,\ldots, n\}$ nella somma delle due sommatorie su $i\in I^-$ ed $i \in I^+\setminus \{ n+1\}$).
Se $i \in I^+\setminus\{n+1\}$ allora $\chi_([0,pi])(x_i)=1=\chi_([0,pi])(x_(i+1))$ (per com'è definito $I^+$), quindi la seconda sommatoria è nulla; d'altra parte, detto $N$ il più grande degli indici in $I^-$, si vede che per $i
$sigma_(f;g;P)(c_0,\ldots ,c_n)=\chi_([0,pi])(c_N) sinc_N=\{(0, ", se " x_N <= c_N <0),(sinc_N, ", se " 0 <= c_N <=x_(N+1)):}$
(nota che la funzione $\chi_([0,pi])(c_N) sinc_N$ come funzione di $c_N$ è continua in $[x_N,x_(N+1)]$).
Tenendo presente che $|c_N-0|<"amp"(P)$ (qui con $"amp"(P)$ intendo l'ampiezza della partizione $P$, ossia la lunghezza del più grande degli intervallini $[x_i,x_(i+1)]$ per $i\in I\setminus \{ n+1\}$), è facile concludere che, per ogni scelta dei punti $c_0,\ldots ,c_n$, si ha:
$lim_("amp"(P)\to 0) sigma(f;g;P)(c_0,\ldots ,c_n)=0$:
infatti comunque si scelga $c_N$ (ricordo che $N$ dipende da $P$), si ha $|c_N-0|\to 0$ quindi $\chi_([0,pi])(c_N) sinc_N\to 0$.
Pertanto l'integrale di Riemann-Stieltjes assegnato vale $0$.
Se la guardi nel senso delle distribuzioni, la risoluzione diventa più semplice: la derivata di $\chi_([0,pi])$ è somma di due $delta$ di Dirac, di ampiezza $1$ e $-1$, centrate rispettivamente in $0$ e $pi$; quindi il tuo integrale si riduce a calcolare $\int_(-pi)^pi\chi_([0,pi])(x) sinx delta_0(x)" d"x=\chi_([0,pi])(0)*sin0=1*0=0$.
Allora, usiamo la definizione.
Sia $P=\{ -pi=x_0,\ldots , x_(n+1) =pi\}$ una partizione di $[-pi,pi]$ (di modo che risulti $AAi =0,\ldots ,n,\ x_i
- $0 \in I^-$ e $n+1\in I^+$,
- $I=I^+ \cup I^-$ ed $I\ \setminus\{ n+1\}=\{0,\ldots ,n\}=I^(-) \cup (I^+ \setminus\{ n+1\})$,
- $I^+=I\ \setminus I^-$, cosicché in particolare è $I^+ \cap I^(-) =\emptyset$.
Costruiamo la generica somma integrale della funzione $f(x):=\chi_([0,pi])(x)sinx$ relativa alla partizione $P$ rispetto alla funzione a variazione limitata $g(x):=\chi_([0,pi])(x)$ (N.B.: tale funzione è monotona in $[-pi,pi]$ e quindi è a variazione limitata): per ogni $n\in \{ 0,ldots ,n\}$ scegliamo $c_i\in [x_i,x_(i+1)]$ e scriviamo:
$sigma(f;g;P)(c_0,\ldots ,c_n):=\sum_(i=0)^n f(c_i)(g(x_(i+1))-g(x_i))$
$\quad \quad =\sum_(i\in I\ \setminus\{ n+1\}) chi_([0,pi])(c_i)sinc_i *(\chi_([0,pi])(x_(i+1))-\chi_([0,pi])(x_i))$
$\quad \quad =\{ \sum_(i\in I^(-)) + \sum_(i\in I^(+)\setminus\{ n+1\})\}chi_([0,pi])(c_i)sinc_i *(\chi_([0,pi])(x_(i+1))-\chi_([0,pi])(x_i))$
(nell'ultimo passaggio ho usato una notazione un po' strana per un'operazione semplice: ho spezzato la sommatoria su $i\in I\ \setminus \{n+1\}=\{ 0,\ldots, n\}$ nella somma delle due sommatorie su $i\in I^-$ ed $i \in I^+\setminus \{ n+1\}$).
Se $i \in I^+\setminus\{n+1\}$ allora $\chi_([0,pi])(x_i)=1=\chi_([0,pi])(x_(i+1))$ (per com'è definito $I^+$), quindi la seconda sommatoria è nulla; d'altra parte, detto $N$ il più grande degli indici in $I^-$, si vede che per $i
$sigma_(f;g;P)(c_0,\ldots ,c_n)=\chi_([0,pi])(c_N) sinc_N=\{(0, ", se " x_N <= c_N <0),(sinc_N, ", se " 0 <= c_N <=x_(N+1)):}$
(nota che la funzione $\chi_([0,pi])(c_N) sinc_N$ come funzione di $c_N$ è continua in $[x_N,x_(N+1)]$).
Tenendo presente che $|c_N-0|<"amp"(P)$ (qui con $"amp"(P)$ intendo l'ampiezza della partizione $P$, ossia la lunghezza del più grande degli intervallini $[x_i,x_(i+1)]$ per $i\in I\setminus \{ n+1\}$), è facile concludere che, per ogni scelta dei punti $c_0,\ldots ,c_n$, si ha:
$lim_("amp"(P)\to 0) sigma(f;g;P)(c_0,\ldots ,c_n)=0$:
infatti comunque si scelga $c_N$ (ricordo che $N$ dipende da $P$), si ha $|c_N-0|\to 0$ quindi $\chi_([0,pi])(c_N) sinc_N\to 0$.
Pertanto l'integrale di Riemann-Stieltjes assegnato vale $0$.
Se la guardi nel senso delle distribuzioni, la risoluzione diventa più semplice: la derivata di $\chi_([0,pi])$ è somma di due $delta$ di Dirac, di ampiezza $1$ e $-1$, centrate rispettivamente in $0$ e $pi$; quindi il tuo integrale si riduce a calcolare $\int_(-pi)^pi\chi_([0,pi])(x) sinx delta_0(x)" d"x=\chi_([0,pi])(0)*sin0=1*0=0$.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo