Integrale di Riemann, integrale indefinito in fisica
Buongiorno a tutti,
Sono una matricola in fisica e sto portando avanti gli studi del mio percorso didattico. Sono ancora poco pratico non giungendo da uno scientifico ma inizio a inquadrare un pochino di più la situazione a qualche mese dall'inizio.
Il tutto peròmi sembra cascarmi con l'inizio in questo trimenstre di meccanica, in sostanza stiamo iniziando a vedere l'applicazione dell'analisi fatta fino ad ora a realtà fisiche di tutti i giorni e mi trovo già con i primi dubbi esistenziali nelmoto rettilineo uniforme, vado a spiegarmi..
In pratica nel corso di analisi I mi è stato illustrato il concetto di integrale definito e di integrale indefinito in modo distaccato, due concetti diversi, unificati solo sotto la grande intuizione del teorema fondamentale che mi mostra come possa trovare il definito utilizzando l'indefinito.
Poi inizio il corso di meccanica e noto come i due concetti "inutitivamente" -ma senza rigore alcuno- siano applicati con disinvoltura e sembra quasi che i due integrali coincidano.
In effetti a livello grafico mi sembra di vedere come il vedere le piccole aree sommate del grafico velocità, intese come mini superfici, riescano a formare la funzione di partenza (e qui una prima unificazione di indefinito e definito), e anche il concetto di limite di una superficie come un qualcosa di molto piccolo (ma il limite non è qualcosa di molto piccolo, sarebbe "concettualmente" come fosse una operazione e quello un valore a cui "tende" ma non è)
Mi sembra poi in secondo luogo possibile vedere l'integrale indefinito come una "generica" funzione di diversi integrali definiti che se contestualizzato a un caso specifico diventa un definito, faccio un esempio: dx=v(t)*dt, bene, a questo punto integrando mi trovo proprio la funzione di partenza e a questo punto dico se ci metto degli estremi di integrazione trovo lo spazio che andavo a percorrere.
Tutte intuizioni sbagliate a livellomatematico che però mi pare funzionino, e non capisco più perché funzionino seppure sbaglite, o qualcosa di vero soggiace?
Limiti e derivate bistrattati, insomma..
Spero possiate aiutarmi e vi ringrazio, mi è cme sparito il terreno sotto i piedi e le certezze create in questi mesi.
Sono una matricola in fisica e sto portando avanti gli studi del mio percorso didattico. Sono ancora poco pratico non giungendo da uno scientifico ma inizio a inquadrare un pochino di più la situazione a qualche mese dall'inizio.
Il tutto peròmi sembra cascarmi con l'inizio in questo trimenstre di meccanica, in sostanza stiamo iniziando a vedere l'applicazione dell'analisi fatta fino ad ora a realtà fisiche di tutti i giorni e mi trovo già con i primi dubbi esistenziali nelmoto rettilineo uniforme, vado a spiegarmi..
In pratica nel corso di analisi I mi è stato illustrato il concetto di integrale definito e di integrale indefinito in modo distaccato, due concetti diversi, unificati solo sotto la grande intuizione del teorema fondamentale che mi mostra come possa trovare il definito utilizzando l'indefinito.
Poi inizio il corso di meccanica e noto come i due concetti "inutitivamente" -ma senza rigore alcuno- siano applicati con disinvoltura e sembra quasi che i due integrali coincidano.
In effetti a livello grafico mi sembra di vedere come il vedere le piccole aree sommate del grafico velocità, intese come mini superfici, riescano a formare la funzione di partenza (e qui una prima unificazione di indefinito e definito), e anche il concetto di limite di una superficie come un qualcosa di molto piccolo (ma il limite non è qualcosa di molto piccolo, sarebbe "concettualmente" come fosse una operazione e quello un valore a cui "tende" ma non è)
Mi sembra poi in secondo luogo possibile vedere l'integrale indefinito come una "generica" funzione di diversi integrali definiti che se contestualizzato a un caso specifico diventa un definito, faccio un esempio: dx=v(t)*dt, bene, a questo punto integrando mi trovo proprio la funzione di partenza e a questo punto dico se ci metto degli estremi di integrazione trovo lo spazio che andavo a percorrere.
Tutte intuizioni sbagliate a livellomatematico che però mi pare funzionino, e non capisco più perché funzionino seppure sbaglite, o qualcosa di vero soggiace?
Limiti e derivate bistrattati, insomma..
Spero possiate aiutarmi e vi ringrazio, mi è cme sparito il terreno sotto i piedi e le certezze create in questi mesi.
Risposte
Il fatto che le certezze crollino è solo un bene: viewtopic.php?p=8320945#p8320945
Quanto all'integrale indefinito, è uno strumento che a mio avviso non dovrebbe neanche esistere, è solo comodo a volte nei calcoli. L'unica entità "vera", su cui bisogna riflettere a lungo, è l'integrale definito.
Quanto all'integrale indefinito, è uno strumento che a mio avviso non dovrebbe neanche esistere, è solo comodo a volte nei calcoli. L'unica entità "vera", su cui bisogna riflettere a lungo, è l'integrale definito.
Grazie per avermi risposto ancora, anche qui, in un nuovo dubbio 
Ma in pratica per inquadrare 'sto benedetto integrale definito cosa devo fare. Non capisco bene come vederlo, mi pare davvero di poter vedere le aree sottese sommate come la primitiva in uno spazio del grafico delimitato dagli estremi di integrazione, ma perché funziona vedendolo così? Nulla dimostra sia giusto, eppure, funziona. Mi sconcerta questa cosa, come potrei approfondire questo argomento che mi fa saltare sulla sedia?
Grazie per i consigli qui come nell'altro post per il Prodi!
Ma in pratica per inquadrare 'sto benedetto integrale definito cosa devo fare. Non capisco bene come vederlo, mi pare davvero di poter vedere le aree sottese sommate come la primitiva in uno spazio del grafico delimitato dagli estremi di integrazione, ma perché funziona vedendolo così? Nulla dimostra sia giusto, eppure, funziona. Mi sconcerta questa cosa, come potrei approfondire questo argomento che mi fa saltare sulla sedia?
Grazie per i consigli qui come nell'altro post per il Prodi!
Butta nel cestino il concetto di "integrale indefinito", è una terminologia da liceo, non esiste niente di simile, esistono le "primitive" di una funzione, e il teorema fondamentale del calcolo non lega in nessun modo "l'integrale definito con l'integrale indefinito", ma lega "l'integrale di una funzione con le sue primitive".
Non capisco quale sia il tuo dubbio, l'integrale di Riemann è definito proprio partizionando l'intervallo di una funzione e "sommando le varie aree che essa sottende"
Non capisco quale sia il tuo dubbio, l'integrale di Riemann è definito proprio partizionando l'intervallo di una funzione e "sommando le varie aree che essa sottende"
Innanzitutto grazie per la risposta,
come hai meglio detto tu ho studiato che il teorma fondamentale lega "l'integrale di una funzione con le sue primitive", il problema è che in analisi mi sono stati mostrati il "secondo Riemann" e la funzione integrale classica. Bene, i concetti sono stati affrontati in modo separato per poi far vedere che la differenza di primitive nei due punti sono interpretabili con l'integrale di Riemann ovvero come area. Ma i concetti son ben distinti, e l'unico legame è questo per il calcolo.
In meccanica invece ho notato che il concetto di v*dt che da ds viene visto come un qualcosa di piccolo, intuitivamente, che sommato porta alla primitiva, insomma è come se l'integrale secondo Riemann potesse darmi la primitiva, e a sua volta la somma di aree fosse la primitiva.
Per quello scrivevo: "mi pare davvero di poter vedere le aree sottese sommate come la primitiva in uno spazio del grafico delimitato dagli estremi di integrazione, ma perché funziona vedendolo così?"
come hai meglio detto tu ho studiato che il teorma fondamentale lega "l'integrale di una funzione con le sue primitive", il problema è che in analisi mi sono stati mostrati il "secondo Riemann" e la funzione integrale classica. Bene, i concetti sono stati affrontati in modo separato per poi far vedere che la differenza di primitive nei due punti sono interpretabili con l'integrale di Riemann ovvero come area. Ma i concetti son ben distinti, e l'unico legame è questo per il calcolo.
In meccanica invece ho notato che il concetto di v*dt che da ds viene visto come un qualcosa di piccolo, intuitivamente, che sommato porta alla primitiva, insomma è come se l'integrale secondo Riemann potesse darmi la primitiva, e a sua volta la somma di aree fosse la primitiva.
Per quello scrivevo: "mi pare davvero di poter vedere le aree sottese sommate come la primitiva in uno spazio del grafico delimitato dagli estremi di integrazione, ma perché funziona vedendolo così?"
PS: Provo a spiegare meglio il dubbio:
Prendiamo il diagramma orario che scaturisce dalla legge oraria (con s sulle ordinate) e il diagramma velocità in relazione al tempo.
So che la primitiva calcolata in B (meno) la primitiva in A mi danno il valore dell'area sottesa dal grafico velocità(y) e tempo(x).
Sono però giunto alla velocità prendendo "partizioni" di tempo sempre più piccole (intuitivamente) e viene facile vedere che nel grafico v,t facendo v*dt avrei un rettangolino piccolo del grafico in questione. v*dt è proprio ds, sommo tutti i ds e trovo ∆s.
Tutti i piccoli ds visti come piccoli trattini mi costruiscono proprio la primitiva sul grafico s,t.
Questo è un po' il modo intuitivo di maltrattare i concetti dell'analisi, ma non c'è ragione perché funzioni (nessuno di quelle quantità sono di per sè intervallini) e mi stupisce il contrario (cioè che funzioni)!
Prendiamo il diagramma orario che scaturisce dalla legge oraria (con s sulle ordinate) e il diagramma velocità in relazione al tempo.
So che la primitiva calcolata in B (meno) la primitiva in A mi danno il valore dell'area sottesa dal grafico velocità(y) e tempo(x).
Sono però giunto alla velocità prendendo "partizioni" di tempo sempre più piccole (intuitivamente) e viene facile vedere che nel grafico v,t facendo v*dt avrei un rettangolino piccolo del grafico in questione. v*dt è proprio ds, sommo tutti i ds e trovo ∆s.
Tutti i piccoli ds visti come piccoli trattini mi costruiscono proprio la primitiva sul grafico s,t.
Questo è un po' il modo intuitivo di maltrattare i concetti dell'analisi, ma non c'è ragione perché funzioni (nessuno di quelle quantità sono di per sè intervallini) e mi stupisce il contrario (cioè che funzioni)!
Il discorso è che servirebbero anche altre nozioni oltre a quelle di analisi uno. Oltre a quello che ha detto vulplasir, aggiungo questo:
Il ‘moto’ generico di un punto può essere espresso formalmente in matematica sotto la definizione di ‘curva’.
Per esempio le funzioni $varphi:J->RR^n$ dove si richiede che $J$ sia un intervallo chiuso e $varphi$ sia una funzione continua.
Il concetto di velocità istantanea e accelerazione istantanea possono venir definite a partire da $varphi$ considerando $varphi’$ e $varphi’’$.
Il discorso può anche essere ulteriormente approfondito vedendo $RR^n$ come spazio affine.
Datti tempo: studio e curiosità daranno i loro frutti.
Il problema è che molto spesso la fisica ammazza il formalismo matematico. Non so se per questioni di necessità o emancipazione scientifica, sinceramente.
Per esempio per me la scrittura $(dvec(v))/(dt)$ non significa nulla a meno di specificare che si tratti della derivata di una funzione vettoriale e se ci sia o meno una dipendenza dalla variabile $t$, inoltre
$(dvec(v)(t))/(dt)=lim_(h->0)(vec(v)(t+h)-vec(v)(t))/h$
Quindi ‘staccare’ il simbolo di differenziazione non significa nulla. Se non sbaglio in ‘analisi non standard’ si comincia a dare una definizione propria al simbolo $dt$
Il ‘moto’ generico di un punto può essere espresso formalmente in matematica sotto la definizione di ‘curva’.
Per esempio le funzioni $varphi:J->RR^n$ dove si richiede che $J$ sia un intervallo chiuso e $varphi$ sia una funzione continua.
Il concetto di velocità istantanea e accelerazione istantanea possono venir definite a partire da $varphi$ considerando $varphi’$ e $varphi’’$.
Il discorso può anche essere ulteriormente approfondito vedendo $RR^n$ come spazio affine.
Datti tempo: studio e curiosità daranno i loro frutti.
Il problema è che molto spesso la fisica ammazza il formalismo matematico. Non so se per questioni di necessità o emancipazione scientifica, sinceramente.
Per esempio per me la scrittura $(dvec(v))/(dt)$ non significa nulla a meno di specificare che si tratti della derivata di una funzione vettoriale e se ci sia o meno una dipendenza dalla variabile $t$, inoltre
$(dvec(v)(t))/(dt)=lim_(h->0)(vec(v)(t+h)-vec(v)(t))/h$
Quindi ‘staccare’ il simbolo di differenziazione non significa nulla. Se non sbaglio in ‘analisi non standard’ si comincia a dare una definizione propria al simbolo $dt$
Funziona perchè quella è proprio la definizione di integrale di Riemann! E il teorema fondamentale ti dice che la funzione integrale $int_(0)^(x)f(x)dx$ (ossia la somma dei rettangolini") è una primitiva di $f(x)$. Nel tuo caso $x=t$ e f=v quindi $int_(0)^(t)v(t)dt$ rappresenta la somma dei rettangolini $ds$, il teorema fondamentale del calcolo ti dice che se sommi quei "rettangolini" ottieni proprio una primitiva di $v(t)$, non c'è nulla da stupirsi (se ho capito il tuo dubbio)
@jacobi,vulplasir
[ot]ad esempio vulpla è un ingegnere e non distingue la variabile di integrazione da quella che effettivamente è la variabile
[/ot]
[ot]ad esempio vulpla è un ingegnere e non distingue la variabile di integrazione da quella che effettivamente è la variabile
[/ot]
[ot]
[/ot]
@anto_zoolander Se distinguo le due variabili poi mi dicono che sono un ingegnere sotto copertura
[/ot]@anto_zoolander Se distinguo le due variabili poi mi dicono che sono un ingegnere sotto copertura
AHAHAHAHAHAH touché!
Quindi la soluzione per superare questo scoglio quale sarebbe
Buttare giù il boccone amaro e trattare i ds i v*dt come intervallini che mi generano la primitiva?
Buttare giù il boccone amaro e trattare i ds i v*dt come intervallini che mi generano la primitiva?
Quindi la soluzione per superare questo scoglio quale sarebbe
Ma quale sarebbe questo scoglio? Qual è il problema? Ti ho spiegato che l'idea di integrale risiede proprio in una "somma di rettangolini", quando chiedi a un calcolatore di calcolarti un integrale, quello ti fa LETTARALMENTE una somma di rettangolini finiti, perché l'integrale è quello.
Ma il tuo problema sta nella costruzione?
@Vulpasir: Diciamo che il mio problema risiede nella concezione intuitiva, e per il fatto che a livello matematico i ds e i v*dt in "analisi I" mi sono stati sì spiegati come "rettangolini" ma precisamente come limite di rettangolini ossia un valore ben definito. In fisica vengono invece trattati come veri e propri rettangolini piccolissimi, in realtà non è propriamente la stessa cosa. Il professore di analisi ha molto insistito nel dire che l'operazione di limite non è concettualmente l'intendere quell'entità portata a livelli microscopici, ma il vedere cosa succede nel "rimpicciolire" l'entità (in questo caso rettangolini v*dt") e poi l'operazione limite ti restituisce un valore in quel punto. Insomma un:"come si comporta man mano che rimpicciolisci" e non un "quando dt è piccolo, quasi zero, il rettangolino vale così".
Inolte, questo lo dico io e non il prof, mi pare che il teorema fondamentale non affermi che trovi la primitiva tramite Riemann, bensì dice: puoi calcolare l'integrale secondo Riemann come differenza di primitive, in fisica invece la si vede al contrario, ovvero l'idea è trovare l' s(t) come primitiva tramite rieman tra un integrazione (punto iniziale e finale).
In che senso costruzione
Grazie per l'aiuto:)
Inolte, questo lo dico io e non il prof, mi pare che il teorema fondamentale non affermi che trovi la primitiva tramite Riemann, bensì dice: puoi calcolare l'integrale secondo Riemann come differenza di primitive, in fisica invece la si vede al contrario, ovvero l'idea è trovare l' s(t) come primitiva tramite rieman tra un integrazione (punto iniziale e finale).
"anto_zoolander":
Ma il tuo problema sta nella costruzione?
In che senso costruzione
Grazie per l'aiuto:)
Devi avere un po' di easticità mentale...non puoi sperare di trovare il rigore dell'analisi matematica nella fisica. Ovviamente in analisi non esistono i rettangolini infinitesimi, l'integrale è costruito per bene come elemento separatore delle classi contigue etc etc...fare così in fisica non è possibile, e la maniera dei rettangolini infinitesimi funziona, più andrai avanti negli studi e più i concetti matematici verranno stuprati, quindi cerca di abituarti fin da ora a non farti troppe "seghe mentali" (in termodinamica poi le cose diventano ancora peggio).
No, il teorema fonamentale riguarda la funzione integrale, e dice che la funzione integrale $F(x)=int_(0)^(x)f(t)dt$ è una primitiva di f(x), ossia $F'(x)=f(x)$, quell a cui ti riferisci te è la "formula fondamentale del calcolo" e serve per calcolare il valore della funzione integrale in un dato punto.
Quindi nel caso cinematico, sommando i "rettangolini" $vdt$ ottieni $s(t)=int_(0)^(t)v(tau)d tau$, ossia ottieni lo spostamento, che è la primitiva della velocità, proprio come dice il teorema.
mi pare che il teorema fondamentale non affermi che trovi la primitiva tramite Riemann, bensì dice: puoi calcolare l'integrale secondo Riemann come differenza di primitive
No, il teorema fonamentale riguarda la funzione integrale, e dice che la funzione integrale $F(x)=int_(0)^(x)f(t)dt$ è una primitiva di f(x), ossia $F'(x)=f(x)$, quell a cui ti riferisci te è la "formula fondamentale del calcolo" e serve per calcolare il valore della funzione integrale in un dato punto.
Quindi nel caso cinematico, sommando i "rettangolini" $vdt$ ottieni $s(t)=int_(0)^(t)v(tau)d tau$, ossia ottieni lo spostamento, che è la primitiva della velocità, proprio come dice il teorema.
"Vulplasir":
Devi avere un po' di easticità mentale...non puoi sperare di trovare il rigore dell'analisi matematica nella fisica. Ovviamente in analisi non esistono i rettangolini infinitesimi, l'integrale è costruito per bene come elemento separatore delle classi contigue etc etc...fare così in fisica non è possibile, e la maniera dei rettangolini infinitesimi funziona, più andrai avanti negli studi e più i concetti matematici verranno stuprati, quindi cerca di abituarti fin da ora a non farti troppe "seghe mentali" (in termodinamica poi le cose diventano ancora peggio).
Chiarissimo
, vulpla! Insomma devo andare più di intuizione, non risucivo proprio a conciliarmi con rigore e perché quei rettangolini che intuitivamente li vedo funzionare si conciliassero alla definizione in analisi (senza alcuna dimostrazione sia quello).E hai anche ragione sulla castroneria che ho detto, caspita tra algebra lineare, analisi e mathematica mi sto fondendo il cervello in questi mesi. D'altra parte analisi non l'ho passata, come si sarà capito per le domande stupide e la cavolata detta XD
La costruzione dell’integrale è una cosa che necessita di alcuni concetti come:
$•$ suddivisione di un intervallo, funzione a gradino, integrale di una funzione a gradino, definizione(come ha detto vulpla) dell’integrale come estremo comune di due classi di funzioni a gradino che approssimano, alcune ipotesi di regolarità.
$•$ si mostra che una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato è integrabile e quindi si definisce la funzione integrale
$•$ si mostra che la funzione integrale è una funzione lipschitzia=> unif. continua => continua
$•$ si mostrano la media integrale e il teorema fondamentale del calcolo
Come vedi gli stessi sono parecchi e a volte ad essi si aggiunge anche la ‘partizione’ di un intervallo(niente di strano).
Il teorema fondamentale mostra soltanto che la funzione integrale è una funzione che derivata da l’integranda e che quindi è una primitiva dell’integranda.
Il simbolo $int_(a)^(b)f(x)dx$ è definito come un valore comune di estremo superiore e inferiore di due insiemi.
$•$ $int$ è una $S$ allungata che veniva usata per indicare ‘somma’
$•$ $a,b$ sono gli estremi dell’intervallo in cui avviene questa somma
$•$ $f(x)dx$ simboleggia quanto fino a prima era $c_k*Deltax$
Di fatto dato un intervallo $J=[a,b]$ e una suddivisione ${a=x_0,...,x_n=b}$ di punti di $J$ e dati $c_1,...,c_n$ numeri reali, la seguente funzione è un esempio di funzione a gradino su $[a,b]$
$u(x)=c_k,forall x in(x_(k-1),x_k),k=1,...,n$
nei punti $x_0,...,x_n$ la puoi definire come ti pare.
$int_(a)^(b)u(x)dx:=sum_(k=1)^(n)c_k(x_k-x_(k-1))=sum_(k=1)^(n)c_k*Deltax_k$
A volte si trova $J_(a)^(b)(u(x))$ anziché $int$
Quindi $f(x)dx$ sta a simboleggiare il prodotto tra un’altezza $f(x)$ per una base $dx$. Potremmo dire che il $dx$ sia un infinitesimo perché ci sono particolari suddivisione in cui $Deltax_k$ vale costantemente $(b-a)/n->_(+infty)0$ ma questa è una cosa più delicata.
$•$ suddivisione di un intervallo, funzione a gradino, integrale di una funzione a gradino, definizione(come ha detto vulpla) dell’integrale come estremo comune di due classi di funzioni a gradino che approssimano, alcune ipotesi di regolarità.
$•$ si mostra che una funzione continua su un intervallo chiuso e limitato è integrabile e quindi si definisce la funzione integrale
$•$ si mostra che la funzione integrale è una funzione lipschitzia=> unif. continua => continua
$•$ si mostrano la media integrale e il teorema fondamentale del calcolo
Come vedi gli stessi sono parecchi e a volte ad essi si aggiunge anche la ‘partizione’ di un intervallo(niente di strano).
Il teorema fondamentale mostra soltanto che la funzione integrale è una funzione che derivata da l’integranda e che quindi è una primitiva dell’integranda.
Il simbolo $int_(a)^(b)f(x)dx$ è definito come un valore comune di estremo superiore e inferiore di due insiemi.
$•$ $int$ è una $S$ allungata che veniva usata per indicare ‘somma’
$•$ $a,b$ sono gli estremi dell’intervallo in cui avviene questa somma
$•$ $f(x)dx$ simboleggia quanto fino a prima era $c_k*Deltax$
Di fatto dato un intervallo $J=[a,b]$ e una suddivisione ${a=x_0,...,x_n=b}$ di punti di $J$ e dati $c_1,...,c_n$ numeri reali, la seguente funzione è un esempio di funzione a gradino su $[a,b]$
$u(x)=c_k,forall x in(x_(k-1),x_k),k=1,...,n$
nei punti $x_0,...,x_n$ la puoi definire come ti pare.
$int_(a)^(b)u(x)dx:=sum_(k=1)^(n)c_k(x_k-x_(k-1))=sum_(k=1)^(n)c_k*Deltax_k$
A volte si trova $J_(a)^(b)(u(x))$ anziché $int$
Quindi $f(x)dx$ sta a simboleggiare il prodotto tra un’altezza $f(x)$ per una base $dx$. Potremmo dire che il $dx$ sia un infinitesimo perché ci sono particolari suddivisione in cui $Deltax_k$ vale costantemente $(b-a)/n->_(+infty)0$ ma questa è una cosa più delicata.
SIccome mi avete dato una grande mano mi piacerebbe avere delucidazioni riguardo questa derivata di un versore che è l'esemplificazione dei problemi di cui parlavo.
Si approssima du all'arco di circonferenza, viene in questo caso usato dθ=|du|\|u| (definizione di radiante) per ricavare portando a primo membro: |du|=|u|*dθ non riesco a figurarmi perché matematicamente funzioni.
Tutto molto bello e intuitivissimo,ma che diamine stà accadendo con quei differenziali trattati come algebra!
Sempre mille grazie.
Si approssima du all'arco di circonferenza, viene in questo caso usato dθ=|du|\|u| (definizione di radiante) per ricavare portando a primo membro: |du|=|u|*dθ non riesco a figurarmi perché matematicamente funzioni.
Tutto molto bello e intuitivissimo,ma che diamine stà accadendo con quei differenziali trattati come algebra!
Sempre mille grazie.
Metto tutto sotto spoiler
Abituati da subito a quel metodo fatto dal libro, perché di certo per determinare una equazione fisica non ci si puó mettere a parlare di intervalli aperti, sostegni di curve etc...perché? Perché come vedi una dimostrazzione di 2 righe anto_zoolander l'ha fatta diventare uno da una pagina intera, e quando le cose diventeranno piú complicate poi non ti basterebbe neanche un libro.
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