Integrale di Riemann, dubbi su funzioni caratteristiche
Il nostro professore di analisi di ingegneria ha definito l'esistenza dell'integrale di riemann in questo modo:
(scusate ma non sono riuscito a trovare il simbolo dell'infinito, fate finta che $prop$ sia in realtà il simbolo dell'inifnito
)
data una funzione $f : RR -> RR$, definita nell'intervallo $[a,b]$ suddiviso da una successione di suddivisioni $pn$, $ a=x0 < x1 < x2 < ... < xm=b $ ($m$ e $x$ dipendenti da $n$), con $|xk - x(k-1)| -> 0$, se $n -> prop$
scelto, per ogni intervallo $[x(k-1),xk]$, un marcatore $yk$,
se esiste un $ v in RR $ tale che:
$ sum_(k = 0)^(k = m) f(yk) * |xk - x(k-1)| -> v $, se $n -> prop$, indipendentemente dalla scelta di ogni marcatore $yk$, allora la funzione $f$ è riemann-integrabile nell'intervallo $[a,b]$.
Ora, volevo verificare l'integrabilità o meno di alcune funzioni, in particolare della funzione caratteristica dei numeri razionali su es: [0,1] e di quella dei numeri naturali su es [0,1].
Ragionando su quella dei numeri razionali, mi è venuto in mente che, in ogni suddivisione avrò comunque un numero razionale e un numero non razionale, quindi a seconda della scelta del marcatore $yk$, la sommatoria non converge allo stesso $v$.
Tuttavia mi verrebbe da pensare che lo stesso ragionamento di possa fare sulla funzione caratteristica dei numeri naturali. Cioè se considero la suddivisione che contiene 1, posso scegliere il marcatore o dove la funzione è 1 o dove è 0.
Dove sbaglio?
Forse perchè nel caso dei razionali la scelta del marcatore è da fare per un numero infinito di suddivisioni e quindi anche facendo tendere a 0 l'ampiezza della suddivisione, la sommatoria non converge a $v$? Mentre per i numeri naturali, solo un numero finito di suddivisioni contiene una "anomalia" e quindi, con l'ampiezza tendente a zero, la loro somma è trascurabile rispetto al resto?
Grazie in anticipo!
(scusate ma non sono riuscito a trovare il simbolo dell'infinito, fate finta che $prop$ sia in realtà il simbolo dell'inifnito
)data una funzione $f : RR -> RR$, definita nell'intervallo $[a,b]$ suddiviso da una successione di suddivisioni $pn$, $ a=x0 < x1 < x2 < ... < xm=b $ ($m$ e $x$ dipendenti da $n$), con $|xk - x(k-1)| -> 0$, se $n -> prop$
scelto, per ogni intervallo $[x(k-1),xk]$, un marcatore $yk$,
se esiste un $ v in RR $ tale che:
$ sum_(k = 0)^(k = m) f(yk) * |xk - x(k-1)| -> v $, se $n -> prop$, indipendentemente dalla scelta di ogni marcatore $yk$, allora la funzione $f$ è riemann-integrabile nell'intervallo $[a,b]$.
Ora, volevo verificare l'integrabilità o meno di alcune funzioni, in particolare della funzione caratteristica dei numeri razionali su es: [0,1] e di quella dei numeri naturali su es [0,1].
Ragionando su quella dei numeri razionali, mi è venuto in mente che, in ogni suddivisione avrò comunque un numero razionale e un numero non razionale, quindi a seconda della scelta del marcatore $yk$, la sommatoria non converge allo stesso $v$.
Tuttavia mi verrebbe da pensare che lo stesso ragionamento di possa fare sulla funzione caratteristica dei numeri naturali. Cioè se considero la suddivisione che contiene 1, posso scegliere il marcatore o dove la funzione è 1 o dove è 0.
Dove sbaglio?
Forse perchè nel caso dei razionali la scelta del marcatore è da fare per un numero infinito di suddivisioni e quindi anche facendo tendere a 0 l'ampiezza della suddivisione, la sommatoria non converge a $v$? Mentre per i numeri naturali, solo un numero finito di suddivisioni contiene una "anomalia" e quindi, con l'ampiezza tendente a zero, la loro somma è trascurabile rispetto al resto?
Grazie in anticipo!
Risposte
La funzione caratteristica di $\mathbb{Q}$ in $\mathbb{R}$, funzione di Dirichlet, non è integrabile secondo Riemann poiché $\mathbb{Q}$ è denso in $\mathbb{R}$; e tu lo hai notato in quanto non riesci ad integrarla secondo Riemann. Invece, $\mathbb{N}$ non è denso in $\mathbb{R}$ e riesci a calcolarti "a mano" l'integrale di Riemann della sua funzione caratteristica in un intervallo chiuso e limitato in quanto l'insieme dei punti di discontinuità in esso se non vuoto è finito!
E quindi se le discontinuità sono finite, la somma di intervalli finiti di ampiezza tendente a zero 0, non comporta problematiche nella sommatoria. Giusto?
Credo di aver capito, grazie per la risposta!
Credo di aver capito, grazie per la risposta!
Il motivo è proprio quello che hai individuato tu. Se prendi la caratteristica dei numeri interi si ha che issata una suddivisione con dei sottointervalli molto piccoli ci sono pochi sottointervalli in cui cade un intero e per i quali il contributo all'area può essere positivo (se il "marcatore" becca proprio l'intero), in tutti gli altri la funzione vale zero. Tale contributo inoltre è via via più piccolo
se l'ampiezza degli sottointervalli diminuisce.Quindi per $n\to+\infty$ la somma tende a zero.
Al contrario se consideri l'indicatrice dei razionali, in OGNI sottointervallo ci sono punti in cui la funzione vale zero e altri in cui vale uno. Dunque puoi scegliere dei marcatori per cui la somma
va a zero e altri per cui la somma va a uno (se tutto vive in $[0,1]$)
EDIT stavo scrivendo e non avevo visto che avevi già capito tutto !
se l'ampiezza degli sottointervalli diminuisce.Quindi per $n\to+\infty$ la somma tende a zero.
Al contrario se consideri l'indicatrice dei razionali, in OGNI sottointervallo ci sono punti in cui la funzione vale zero e altri in cui vale uno. Dunque puoi scegliere dei marcatori per cui la somma
va a zero e altri per cui la somma va a uno (se tutto vive in $[0,1]$)
EDIT stavo scrivendo e non avevo visto che avevi già capito tutto !
Grazie a tutti!
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