Integrale di Riemann
Data la definizione di integrale di Riemann, è lecito dire che ogni funzione limitata in un intervallo $[a,b]$ è integrabile secondo Riemann in suddetto intervallo?
Se NO, potreste farmi qualche esempio, perchè a me non ne è venuto neanche uno...
Grazie!!
Se NO, potreste farmi qualche esempio, perchè a me non ne è venuto neanche uno...
Grazie!!
Risposte
NO: $f(x)=1$ se $x \in \QQ \cap [0,1]$, $f(x)=0$ altrimenti in $[0,1]$.
Giustissimo!!
Grazie mille!!
Grazie mille!!
a parte questa di dirichlet (o simili che usano razionali e reali) ce ne sono altre?
C'è un teorema che afferma: se $f : [a,b] \to \RR$ è una funzione limitata allora $f$ è integrabile secondo Riemann se e solo se l'insieme di discontinuità di $f$ ha misura di Lebesgue nulla.
A norma di questo risultato per trovare funzioni (limitate) non integrabili secondo Riemann bisogna far sì che siano discontinue su un insieme sicuramente più che numerabile, quindi credo che gli esempi possibili siano grosso modo simili alla Dirichlet.
A norma di questo risultato per trovare funzioni (limitate) non integrabili secondo Riemann bisogna far sì che siano discontinue su un insieme sicuramente più che numerabile, quindi credo che gli esempi possibili siano grosso modo simili alla Dirichlet.
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