Integrale di radice

[Mrs92]

Sono appena agli inizi....

$int sqrt(3x +1) dx$

ho poca dimestichezza con i vari metodi risolutivi ma imparo in fretta. Grazie.

[lordb]

Puoi usare metodi differenti:

1) Dalla derivata della composizione:

Moltiplica e dividi per $3$: $1/3int 3*sqrt(3x +1) dx$.

Posta $g:[-1/3,+oo[->RR,x->sqrt(3x +1)$ ottieni:

$1/3 int g'(x)*sqrt(g(x)) dx$, continua tu....

2) Per sostituzione:

Puoi iniziare con $sqrt(3x +1)=t$. Poi ottieni $dt/dx=...$ continua tu...

[Mrs92]

puoi spiegarmi in via generale il primo metodo?

$sqrt(3x +1) = t$ ------> $3dx = 2tdt$ ------> $dx = (2/3)tdt$

$ 2/9 * (3x + 1)^(3/2) + c $

[lordb]

In breve (non soffermandoci sugli insiemi di definzione delle funzioni)..

Considera due funzioni derivabili:

$f:RR->RR,x->f(x)$
$g:RR->RR,x->g(x)$

Facciamone la composizione: $h:$$f $ $o$ $g$ e deriviamo $h$:

$h':RR->RR,x->f'(g(x))*g'(x)$

E' evidente che $h(x) $$[=f(g(x)]$ sia una primitiva di $h'(x)$$[=f'(g(x))*g'(x)]$.

Da queste semplici considerazioni:

$f(g(x)) +c =int f'(g(x))*g'(x) dx$

Visto che nelle applicazioni si ha $f'$ chiamiamo $f'=phi$ e $f=Phi$ , allora:

$Phi(g(x)) + c =int phi(g(x))*g'(x) dx$

Ora prova a risolvere in questo modo l'esercizio ..

[Mrs92]

ok, risolto. Viene uguale a sopra. Grazie mille.

[lordb]

Di niente