Integrale di linea di seconda specie, calcolo del lavoro

lynyrd96
Salve ragazzi, vi devo chiedere un favore. Il nostro professore di analisi e meccanica razionale ha lasciato un esercizio nell'esame, mai spiegato, in cui chiede il calcolo del lavoro di una forza nelle variabili x,y,z lungo una linea γ nella variabile t compresa tra 0 e 2π.
$ vec(F)=sqrtz *hat(i)+x*hat(j)+y*hat(k) $
Equazione della linea γ: $ hat(r)(t)=(t-sin(t) *hat(i))+(1-cos(t))*hat(j)+t^2*hat(k) $
con $ 0<=t<=2*pi $

Se poteste risolvermi questo problema ve ne sarei molto grato, ho cercato se vi erano post simili nel forum, ma invano. Grazie in anticipo

Risposte
lynyrd96
Da quanto ho capito leggendo qualcosa su Wikipedia dovrei prima scrivere la forza F nella variabile $ t $ o $ r(t) $ e successivamente risolvere l'integrale: $ int_(0)^(2pi ) F(r(t)*r'(t) dt $

Sk_Anonymous
"lynyrd96":
Da quanto ho capito leggendo qualcosa su Wikipedia dovrei prima scrivere la forza F nella variabile $ t $ [...]

Ni, devi comporre il campo \( F \) con la (parametrizzazione della) curva \( r \). Te ne scrivo un pezzo: il campo vettoriale \( F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 \) è definito dalla formula \( F(x,y,z)= ( \sqrt{z},x,y ) \), quindi \( F(r(t))=(|t|,t- \sin(t),1-\cos(t))\). Da qui devi calcolare nell'ordine: ordine una derivata (i.e. \(r'\)), un prodotto scalare (i.e. \(F(r(t)) \cdot r' (t)\)) ed un integrale (i.e. quello che hai scritto).

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