Integrale di linea di prima specie

[ampetrosillo]

È dato il seguente problema:

si consideri la Spirale di Archimede, di equazione in forma polare $ rho = Atheta $, con $ theta in [0, 4pi] $. Si calcoli il seguente integrale di linea:

$ int_(gamma) theta^3 ds $

Per calcolare un integrale di linea, è necessario esprimere la funzione integranda della variabile $ s $ come una funzione della variabile $ theta $ attraverso la parametrizzazione di $ gamma $, cioè:

$ int_(0)^(4pi) f(bar(r)(theta))|bar(r)(theta)|d theta $.

Come esprimo però la funzione $ theta^3 $ "in funzione" di $ theta $? Non capisco. L'altra soluzione che mi viene in mente è quella di fare l'equivalenza $ ds = |bar(r)(theta)|d theta $ e sostituire direttamente nell'espressione dell'integrale.

[ampetrosillo]

Nella fattispecie, risulterebbe:

$ bar(r)'(theta) = A(cos theta - theta sin theta, sin theta + theta cos theta) $

$ |bar(r)'(theta)| = A root()( (cos theta - theta sin theta)^2 + (sin theta + theta cos theta)^2 = $
$ = A root()( cos^2 theta - 2 theta cos theta sin theta + theta^2 sin ^2 theta + sin^2 theta + 2 theta cos theta sin theta + theta^2 cos^2 theta) = $
$ = A root()(theta^2 + 1) $

Quindi, $ s(theta) = Aint_(0)^(theta) root()(t^2 + 1)dt $ (un po' antipatico, richiede di utilizzare le funzioni iperboliche, ma si fa).

[walter891]

scusa ma $theta^3$ non è già una funzione di $theta$? in questo caso non vedo trasformazioni da fare

[ampetrosillo]

Appunto, se una funzione integranda è già espressa in termini di $ theta $, non è necessario fare nulla?

[MrMojoRisin891]

salve, sto cercando di svolgere anch'io questo esercizio.
volevo chiedervi a questo punto come procedere:
una volta calcolata $s(theta)$, per integrare sul supporto, bisogna in pratica svolgere
$A\int_0^(4pi)theta^3sqrt(1+theta^2)d\theta$?
grazie