Integrale di linea del gradiente di una funzione

[eusnma]

Il testo dell'esercizio chiede di calcolare l'integrale di linea del gradiente della funzione:

$ f=r*\sin\phi$

su ciascuno dei contorni specificati:



Per prima cosa calcolo il gradiente:

$\nabla f = \sin \phi \vec r + r \cos \phi \vec \phi $

Mi accerto che si tratti di un differenziale esatto, infatti:

$\frac{\partial \sin \phi}{\partial \phi} = \frac{\partial r \cos \phi}{\partial r} => \cos\phi = \cos\phi$

Quindi il valore sarà indipendente dal cammino scelto. Posso dunque considerare quello più breve, guardando al grafico va dai punti $(0, -a)$ a $(0, a)$. La funzione che descrive il cammino è dunque la seguente: $\gamma (t, 0)$, e derivata: $\gamma^{'}(1,0)$. A questo punto:

$\int_{\gamma} \sin \phi * \vec r + r \cos \phi * \vec \phi = \int_{\gamma} (0 * \vec r + 0 * \vec \phi ) * (1 \vec r + 0 \vec \phi) = 0 $

Quindi il risultato è zero. E' corretto il ragionamento? Altrimenti dove sbaglio?
Purtroppo nel libro manca la soluzione.

Grazie.

[dissonance]

Troppo lavoro inutile. Tu conosci già, e proprio per definizione, una primitiva di $nabla f$. Hai quindi tutti gli ingredienti per calcolare $int_gamma nabla f\cdot\ dvec{s}$ su qualsiasi cammino $gamma$, conoscendone solo i due estremi. Non occorre calcolare esplicitamente né $nablaf$ né nessun integrale.