Integrale di linea
Salve a tutti, sono bloccato, dopo un'anno, che lavoro con questi integrali, sul loro significato geometrico, sui "percorsi", probabilmente dirò cose o banali, o totalmente sbagliate, vi chiedo scusa in partenza. Partiamo da questo. Ho una funzione continua ed esiste la sua primitiva, l'integrale su un percorso chiuso è nullo, ora mi chiedo, geometricamente parlando, stiamo pesando ogni piccolo dl, con il suo segno, ma se avessi una funzione avente diversi valori per lo stesso dl ma di segno opposto "spostato"
ad esempio questa funzione
x^2-(x+7)*y^2
integrare su un quadrato con un vertice centrate nell'origine risulta diverso da 0.
ad esempio questa funzione
x^2-(x+7)*y^2
integrare su un quadrato con un vertice centrate nell'origine risulta diverso da 0.
Risposte
cosa vuol dire "la primitiva" per
una funzione in due variabili?
La funzione sarebbe la derivata... di cosa?
secondo quale derivazione?
(dopo lo sviluppo della discussione,
chiarisco questo punto: qui dico
di funzione reale di variabili reali)
una funzione in due variabili?
La funzione sarebbe la derivata... di cosa?
secondo quale derivazione?
(dopo lo sviluppo della discussione,
chiarisco questo punto: qui dico
di funzione reale di variabili reali)
"geometricamente", puoi
pensare all'integrale di linea di $f(x,y)$
come l'area (con segno) tra il sostegno
della curva sul piano x-y
e l'immagine di questo sostegno secondo $f$.
Diciamo: come
l'integrale di una funzione di una sola variabile, solo
che la "base" della figura
non
è un segmento di retta ma il sostegno della curva.
[repetita juvant: una "curva" è
una funzione. Quella che diciamo, comunemente, "linea curva" (come questa:@),
in matematica è l'immagine (chiamasi sostegno) di una funzione, questa detta "curva"].
pensare all'integrale di linea di $f(x,y)$
come l'area (con segno) tra il sostegno
della curva sul piano x-y
e l'immagine di questo sostegno secondo $f$.
Diciamo: come
l'integrale di una funzione di una sola variabile, solo
che la "base" della figura
non
è un segmento di retta ma il sostegno della curva.
[repetita juvant: una "curva" è
una funzione. Quella che diciamo, comunemente, "linea curva" (come questa:@),
in matematica è l'immagine (chiamasi sostegno) di una funzione, questa detta "curva"].
@orazioster
ok, però a questo punto non riesco proprio a figurarmi come sia possibile, che scelti due cammini t0 e t1, a cui corrispondono diverse "linee" in z (ad esempio non so, nel percorso t0, la superficie che su quel percorso diventa una linea in 3-D sale, scende e arrivare all'estremo di integrazione, mentre attraverso t1, può seguire un'altro tipo di linea, non so, una semplice retta ad esempio, ora come si fa a dire che l'area sottesa dal triangolo, o dal trapezio della linea che segue t1, sia uguale all'area sottesa di quella specie di montagna che segue t0, per dirla in termini molto poco matematici xD
riesco a capire la dimostrazione formale, ma non rientra nella geometria.. o meglio devo solo capire perchè in teoria le due aree sono uguali, non so se mi sono spiegato.
ok, però a questo punto non riesco proprio a figurarmi come sia possibile, che scelti due cammini t0 e t1, a cui corrispondono diverse "linee" in z (ad esempio non so, nel percorso t0, la superficie che su quel percorso diventa una linea in 3-D sale, scende e arrivare all'estremo di integrazione, mentre attraverso t1, può seguire un'altro tipo di linea, non so, una semplice retta ad esempio, ora come si fa a dire che l'area sottesa dal triangolo, o dal trapezio della linea che segue t1, sia uguale all'area sottesa di quella specie di montagna che segue t0, per dirla in termini molto poco matematici xD
riesco a capire la dimostrazione formale, ma non rientra nella geometria.. o meglio devo solo capire perchè in teoria le due aree sono uguali, non so se mi sono spiegato.
e infatti: perchè
dovrebbero essere uguali?
La funzione di una variabile è funzione
del parametro, che , in genere, varia in un intervallo $[a,b]$.
Per cui detta $F$ la primitiva di $f(x(t),y(t)).sqrt(x'^2+y'^2)$ (edit:ho
scritto questo esplicitamente per chiarire)generalmente $F(b)$ non è
uguale a $F(a).
Uhm, ho
capito come mai non t'era chiaro: quello
che dicevi è per le FORME DIFFERENZIALI.
Se ammettono una primitiva, la loro
integrazione su qualsiasi cammino chiuso è nulla.
Sono cose diverse: integrali di linea di una
funzione, ed integrazione lungo un cammino di una FORMA DIFFERENZIALE.
dovrebbero essere uguali?
La funzione di una variabile è funzione
del parametro, che , in genere, varia in un intervallo $[a,b]$.
Per cui detta $F$ la primitiva di $f(x(t),y(t)).sqrt(x'^2+y'^2)$ (edit:ho
scritto questo esplicitamente per chiarire)generalmente $F(b)$ non è
uguale a $F(a).
Uhm, ho
capito come mai non t'era chiaro: quello
che dicevi è per le FORME DIFFERENZIALI.
Se ammettono una primitiva, la loro
integrazione su qualsiasi cammino chiuso è nulla.
Sono cose diverse: integrali di linea di una
funzione, ed integrazione lungo un cammino di una FORMA DIFFERENZIALE.
cioè premetto studio fisica, sono sotto di uno, e mi manca analisi II, sto facendo metodi matematici, quindi tutta la parte integrali complessi e fourier E' stato rifatto il teorema fondamentale del calcolo e formalmente risulta che l'integrale su un percorso, dipende solo dagli estremi del percorso e non dal percorso in se, con le varie conseguenze tra cui l'integrale su cammino chiuso uguale a 0. Ma o è cambiata la mia vecchia definizione di integrale (a una variabile) di area sottesa, o non so più cosa pensare.
Caspita! io
studio Ingegneria, ed esattamente questa era la lezione
di stamane del mio corso di Metodi Matematici per l'Ingegneria!
Si parlava di integrazione di una funzione di variabile complessa.
...diciamo che, avendo
una funzione di variabile complessa,
ti riporti ad una forma differenziale; l'integrazione
della quale, se la forma ammette una primitiva, è indipendente dal
cammino, dipende solo dagli estremi di integrazione.
Quello
che dicevo prima era per una funzione reale di 2 variabili reali. Non è lo stesso.
studio Ingegneria, ed esattamente questa era la lezione
di stamane del mio corso di Metodi Matematici per l'Ingegneria!
Si parlava di integrazione di una funzione di variabile complessa.
...diciamo che, avendo
una funzione di variabile complessa,
ti riporti ad una forma differenziale; l'integrazione
della quale, se la forma ammette una primitiva, è indipendente dal
cammino, dipende solo dagli estremi di integrazione.
Quello
che dicevo prima era per una funzione reale di 2 variabili reali. Non è lo stesso.
non saprei.. qual'è la differenza in termini di integrale?
scusa se ti rimando a wikipedia,
è
che ora non posso star qui, che è un internet point a pagamento, ed a casa non ho connessione.
Giusto dico
che, nel caso di funzione reale $f(x,y)$, integri $f(x,y)"d"s=f(x,y)sqrt(x'^2+y'^2)"d"t$, dove
x ed y, come funzioni di t, sono derivate rispetto a t.
In questo caso, l'integrale è l'area sottesa...
Nel caso $f$ sia invece funzione VETTORIALE $(f_1,f_2)$
(e per i complessi lo è:
c'è una funzione parte reale, ed una funzione parte immaginaria),
l'integrale è $(f_1*x' + f_2y')"d"t$ (in effetti: $(f_1\tau_1+f_2*\tau_2)"d"s$),
che equivale alla f.differenziale $f_1"d"x+f_2"d"y$.
In questo caso integri il
prodotto scalare tra $\vecf$ ed il vettore tangente alla curva.
come nel caso del "lavoro": prodotto scalare della forza e della velocità, integrato sul tempo.
(o, in altri termini, la proiezione di $\vecf$ sul versore tangente $\vec\tau$, secondo il "parametro arco")
è
che ora non posso star qui, che è un internet point a pagamento, ed a casa non ho connessione.
Giusto dico
che, nel caso di funzione reale $f(x,y)$, integri $f(x,y)"d"s=f(x,y)sqrt(x'^2+y'^2)"d"t$, dove
x ed y, come funzioni di t, sono derivate rispetto a t.
In questo caso, l'integrale è l'area sottesa...
Nel caso $f$ sia invece funzione VETTORIALE $(f_1,f_2)$
(e per i complessi lo è:
c'è una funzione parte reale, ed una funzione parte immaginaria),
l'integrale è $(f_1*x' + f_2y')"d"t$ (in effetti: $(f_1\tau_1+f_2*\tau_2)"d"s$),
che equivale alla f.differenziale $f_1"d"x+f_2"d"y$.
In questo caso integri il
prodotto scalare tra $\vecf$ ed il vettore tangente alla curva.
come nel caso del "lavoro": prodotto scalare della forza e della velocità, integrato sul tempo.
(o, in altri termini, la proiezione di $\vecf$ sul versore tangente $\vec\tau$, secondo il "parametro arco")
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