Integrale di linea?
Ho problemi nello risolvere questo tipo di integrali...
ad esempio:
$\int_\gamma ((2x)/(x^2+y^2)+cos(x))dx+((2(x^2+y^2+y))/(x^2+y^2))dy$
$\gamma=\{(x(t)=e^(2t)cos(t)),(y(t)=te^(3t^2)):} 0<=t<=1 $
con i punti iniziale e finale:
$P_0=(1,0)$
$ P_1=(e^2,e^3)$
Innanzitutto ho verificato che il campo fosse irrotazionale facendo la derivata di $F_1=(2x)/(x^2+y^2)+cos(x)$ rispetto a y e la derivata di $F_2=(2(x^2+y^2+y))/(x^2+y^2)$ rispetto a x che vengono entrambe $(-4xy)/(x^2+y^2)^2$
Poi per vedere se è conservativo devo trovare i potenziali e confrontarli:
$U_x=\int ((2x)/(x^2+y^2)+cos(x))dx = log(x^2+y^2)+sen (x)$
$U_y=\int (2(x^2+y^2+y))/(x^2+y^2))dy=log(x^2+y^2)+2y$
Giusto?
il problema è che non sono sicura che si svolga in questo modo...
a lezione non sono potuta andare perciò mi tocca arrangiarmi con qualche appunto incomprensibile di un mio amico che non è facile da capire...
Ho cercato molto in rete esercizi simili ma senza ottenere risultati soddisfacenti!
ad esempio:
$\int_\gamma ((2x)/(x^2+y^2)+cos(x))dx+((2(x^2+y^2+y))/(x^2+y^2))dy$
$\gamma=\{(x(t)=e^(2t)cos(t)),(y(t)=te^(3t^2)):} 0<=t<=1 $
con i punti iniziale e finale:
$P_0=(1,0)$
$ P_1=(e^2,e^3)$
Innanzitutto ho verificato che il campo fosse irrotazionale facendo la derivata di $F_1=(2x)/(x^2+y^2)+cos(x)$ rispetto a y e la derivata di $F_2=(2(x^2+y^2+y))/(x^2+y^2)$ rispetto a x che vengono entrambe $(-4xy)/(x^2+y^2)^2$
Poi per vedere se è conservativo devo trovare i potenziali e confrontarli:
$U_x=\int ((2x)/(x^2+y^2)+cos(x))dx = log(x^2+y^2)+sen (x)$
$U_y=\int (2(x^2+y^2+y))/(x^2+y^2))dy=log(x^2+y^2)+2y$
Giusto?
il problema è che non sono sicura che si svolga in questo modo...
a lezione non sono potuta andare perciò mi tocca arrangiarmi con qualche appunto incomprensibile di un mio amico che non è facile da capire...
Ho cercato molto in rete esercizi simili ma senza ottenere risultati soddisfacenti!
Risposte
sto ancora studiando queste cose ma mi sembra di aver capito che il potenziale lo puoi calcolare solo se la forma differenziale è esatta, quindi se il campo è conservativo o meno lo stabilisci prima.
allora cosa dovrei fare?
"kestress":
allora cosa dovrei fare?
Intanto guardi se la forma diff. è esatta, cioè: trovi il potenziale in uno $U_x$ oppure $U_y$ a tuo piacimento (il più facile da integrare), poi lo derivi risptto all' altra variabile. Cioè avendo la forma diff. $w = f_1dx + f_2dy$ e trovi ad esempio $U_x$, se hai anche che $(\partial U_x)/ (\partial y) = f_2$ allora la forma differenziale è esatta. In questo caso non lo è, perchè come vedi i 2 potenziali sono diversi.
Comunque la tua forma diff. è chiusa (o irrotazoinale), quindi se riesci a trovare un aperto connesso, l tua forma diff. sarà esatta in tale insieme.
Si nota che in (0,0) $w$ non è definita, ma nel tuo insieme di definizione, $Y$, tale punto viene escluso se consideri $0 < t <= 1$ quindi hai trovato un aperto connesso..
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