Integrale di linea
Ciao a tutti, ho un problema nel fare questo esercizio...
http://img474.imageshack.us/my.php?imag ... inezs4.jpg
t appartiene [ -radq(3),2]
Non sò come gestire il fatto che la primitiva della funzione integranda (che è il log) non'è defino nel semipiano Re(z)<0. Come posso fare? GRAZIE
http://img474.imageshack.us/my.php?imag ... inezs4.jpg
t appartiene [ -radq(3),2]
Non sò come gestire il fatto che la primitiva della funzione integranda (che è il log) non'è defino nel semipiano Re(z)<0. Come posso fare? GRAZIE
Risposte
Non è esatto quanto dici , ad es. $ln (-2) = ln2+i pi$ [log principale ].
in generale : $ln (a+ib) = ln |a+ib| +i (theta +2kpi)$ essendo $ tan theta = b/a$
in generale : $ln (a+ib) = ln |a+ib| +i (theta +2kpi)$ essendo $ tan theta = b/a$
"camillo":
Non è esatto quanto dici , ad es. $ln (-2) = ln2+i pi$ [log principale ].
in generale : $ln (a+ib) = ln |a+ib| +i (theta +2kpi)$ essendo $ tan theta = b/a$
è vero...il logaritmo in campo complesso non'è una funzione olomorfa per re(z)<0....
Anche se il log è definito per re(z)<0 non posso applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale....e quindi e come posso risolvere l'esercizio?
Il logaritmo in campo complesso cioè log(z) è funzione olomorfa per tutti i numeri complessi eccetto i numeri reali negativi .(Solo i reali negativi vanno esclusi e non tutti i numeri complessi con parte reale negativa ).
La linea $ gamma $ sulla quale devi integrare non comprende l'asse reale negativo.
Prova a fare l'esercizio e dimmi che valore ottieni.
La linea $ gamma $ sulla quale devi integrare non comprende l'asse reale negativo.
Prova a fare l'esercizio e dimmi che valore ottieni.
"camillo":
Il logaritmo in campo complesso cioè log(z) è funzione olomorfa per tutti i numeri complessi eccetto i numeri reali negativi .(Solo i reali negativi vanno esclusi e non tutti i numeri complessi con parte reale negativa ).
La linea $ gamma $ sulla quale devi integrare non comprende l'asse reale negativo.
Prova a fare l'esercizio e dimmi che valore ottieni.
E' che il professore mi ha detto che non si può applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale, senza darmi una spiegazione chiara. Comunque applicandolo ottengo
1/2*ln(2)+i (5/12)*pi. ma è sbagliato
dovrei ottenere 1/2*ln(2)+i (17/12)*pi
Io ottengo: $(1/2)ln2 -7*pi/12 $ che differisce dal risultato del prof di $ 2*pi$ ( pari al salto della funzione log al passaggio attraverso l'asse reale negativo ???)
Luca che cosa dici ?
Luca che cosa dici ?
ora mi sono ricordato che il professore mi accennò di usare il metodo dei residui....ma non sò dirti altro
Sì Camillo, viene proprio il salto di $2\pi$ poichè la curva in oggetto attraversa la semiretta della retta $z=2i$ che sta nel secondo quadrante, che dà il salto per il logaritmo di $z-2i$. Quindi o ci aggiungi il salto e trovi il risultato corretto, oppure usi il Teorema dei residui, ho provato e viene lo stesso risultato.
Basta integrare sulla curva chiusa che è composta dall'arco di $\gamma$ e dal segmento che chiude tale arco. Allora l'integrale su tale curva, per il Th dei residui, vale $2\pi i$, dal momento che il residuo nel polo $2i$ è $1$. L'integrale sul segmento si calcola invece con il metodo già usato da voi, in tal caso la retta $z=2i$ non disturba e quindi ottenete esattamente il risultato ottenuto da Camillo, con il segno opposto, poichè il segmento viene percorso a contrario. Ecco quindi che il residuo all'altro membro sistema il conto.
Basta integrare sulla curva chiusa che è composta dall'arco di $\gamma$ e dal segmento che chiude tale arco. Allora l'integrale su tale curva, per il Th dei residui, vale $2\pi i$, dal momento che il residuo nel polo $2i$ è $1$. L'integrale sul segmento si calcola invece con il metodo già usato da voi, in tal caso la retta $z=2i$ non disturba e quindi ottenete esattamente il risultato ottenuto da Camillo, con il segno opposto, poichè il segmento viene percorso a contrario. Ecco quindi che il residuo all'altro membro sistema il conto.
ora mi è tutto chiaro...grazie ragazzi. Ho un problema su quest'altro integrale
$int_gamma (z^2+1)^-1 dz$
$gamma=(2*t+i)^-1$
$t epsi [1,sqrt(3)]$
$int_gamma (z^2+1)^-1 dz$
$gamma=(2*t+i)^-1$
$t epsi [1,sqrt(3)]$
Hai forse il risultato ?
Ma la curva è interamente reale?
Infatti è proprio quello che mi lasciavo perplesso !! Se così fosse , sarebbe un tranquillo integrale di linea in ambito reale.
scusate, avevo sbagliato a scrivere la curva...non'è tutta in campo reale, ho corretto il post di sopra. Il mio problema è dovuto al fatto che non sò manipolare l'arctg in campo complesso
La formula da usare è :
$ arc tan z = (i/2)* [ln(1-iz)-ln(1+iz)]$
vedi definizioni :
http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_tr ... _functions [ logarithmic form]
Si può ottenere partendo dalle definizioni :
$sin z = (e^(iz)-e^(-iz))/2$
$cosz = (e^(iz)+e^(-iz))/2$
da cui :
$tan z = (e^(2iz)-1)/(e^(2iz)+1) $ etc. etc..
$ arc tan z = (i/2)* [ln(1-iz)-ln(1+iz)]$
vedi definizioni :
http://en.wikipedia.org/wiki/Inverse_tr ... _functions [ logarithmic form]
Si può ottenere partendo dalle definizioni :
$sin z = (e^(iz)-e^(-iz))/2$
$cosz = (e^(iz)+e^(-iz))/2$
da cui :
$tan z = (e^(2iz)-1)/(e^(2iz)+1) $ etc. etc..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
