Integrale di linea
Buonasera a tutti, stavo svolgendo questo esercizio:
"Sia data la curva
Calcolare l'integrale di linea lungo la linea $I=\int_\gamma e^(-y)ds$"
Mi servirebbe un aiuto sulla prima equazione.
Il mio prof dice che è possibile applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale, per il quale $\int_a^bf'(s)ds=f(b)-f(a)$, ma a lui come risultato viene $2/sqrt(t+1)$, mentre secondo me il risultato corretto sarebbe $2/sqrt(t+1)-2$.
Qualcuno potrebbe gentilmente dirmi chi tra i due ha ragione?
Grazie mille
"Sia data la curva
Calcolare l'integrale di linea lungo la linea $I=\int_\gamma e^(-y)ds$"
Mi servirebbe un aiuto sulla prima equazione.
Il mio prof dice che è possibile applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale, per il quale $\int_a^bf'(s)ds=f(b)-f(a)$, ma a lui come risultato viene $2/sqrt(t+1)$, mentre secondo me il risultato corretto sarebbe $2/sqrt(t+1)-2$.
Qualcuno potrebbe gentilmente dirmi chi tra i due ha ragione?
Grazie mille
Risposte
Mi sa che hai sbagliato sezione del forum: è una domanda da analisi matematica di base. 
Inoltre non è chiara la domanda che poni: il tuo professore ha calcolato il vettore velocità $\gamma'(t)$? Se sì, la derivata della prima componente coincide con quella proposta dal tuo insegnante.
Inoltre non è chiara la domanda che poni: il tuo professore ha calcolato il vettore velocità $\gamma'(t)$? Se sì, la derivata della prima componente coincide con quella proposta dal tuo insegnante.
"Mathita":
il tuo professore ha calcolato il vettore velocità γ'(t)
Sì, mi scuso per aver dato per scontato questo pezzo.
"Fabbioo":
Se sì, la derivata della prima componente coincide con quella proposta dal tuo insegnante.
Non capisco proprio come faccia a non venirmi uguale al mio prof. Posso chiederti se puoi dirmi dove sbaglio?
Il calcolo che faccio è il seguente:
$\int_0^t2(s+1)^(-1/2)ds=>f(b)-f(a)=2(t+1)^(-1/2)-2*1^(-1/2)=2(t+1)^(-1/2)-2$
L'integrale è sbagliato, purtroppo.
$\int_{0}^{t}2 (s+1)^{-\frac{1}{2}}ds= \left[2\cdot\frac{1}{-\frac{1}{2}+1}(s+1)^{-\frac{1}{2}+1}\right]_{s=0}^{s=t}=4\sqrt{1+t}-4$
Tra l'altro, applicando come si deve il teorema fondamentale del calcolo integrale, puoi bellamente calcolare la derivata rispetto a $t$ della funzione integrale $F(t)=\int_{0}^{t}2 (s+1)^{-\frac{1}{2}}ds$ senza esplicitare l'integrale.
Sotto le ipotesi del teorema, la derivata della funzione integrale $F(t)=\int_{t_0}^{t}f(s)ds$ coincide con $\frac{d}{dt}[F(t)]=f(t)$. Ora hai gli strumenti per concludere da solo: ripassa il teorema fondamentale del calcolo integrale.
$\int_{0}^{t}2 (s+1)^{-\frac{1}{2}}ds= \left[2\cdot\frac{1}{-\frac{1}{2}+1}(s+1)^{-\frac{1}{2}+1}\right]_{s=0}^{s=t}=4\sqrt{1+t}-4$
Tra l'altro, applicando come si deve il teorema fondamentale del calcolo integrale, puoi bellamente calcolare la derivata rispetto a $t$ della funzione integrale $F(t)=\int_{0}^{t}2 (s+1)^{-\frac{1}{2}}ds$ senza esplicitare l'integrale.
Sotto le ipotesi del teorema, la derivata della funzione integrale $F(t)=\int_{t_0}^{t}f(s)ds$ coincide con $\frac{d}{dt}[F(t)]=f(t)$. Ora hai gli strumenti per concludere da solo: ripassa il teorema fondamentale del calcolo integrale.
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