Integrale di linea
ragazzi ho una domanda:
Ho un esercizio che mi dice: data la curva \(S(t)= e^t \cos(t)i+e^t \sin(t)j\) con \(t\in(0,\pi)\) (orientata con le t crescenti) calcolare l'integrale di (xdx+ydy)
Ora come si risolve l'integrale credo di saperlo, devo scrivere la funzione da integrare in funzione di t sostituendoci quindi i parametri della curva e poi moltiplicare per la norma della tangente alla curva e integrare il tutto tra 0 e pi-greco giusto? Però il testo mi dice di considerare la curva orientata con le t crescenti, questo cosa mi comporta? devo restringere l'intervallo in cui è compreso t? cosa vuol dire orientato con le t crescenti?
Ho un esercizio che mi dice: data la curva \(S(t)= e^t \cos(t)i+e^t \sin(t)j\) con \(t\in(0,\pi)\) (orientata con le t crescenti) calcolare l'integrale di (xdx+ydy)
Ora come si risolve l'integrale credo di saperlo, devo scrivere la funzione da integrare in funzione di t sostituendoci quindi i parametri della curva e poi moltiplicare per la norma della tangente alla curva e integrare il tutto tra 0 e pi-greco giusto? Però il testo mi dice di considerare la curva orientata con le t crescenti, questo cosa mi comporta? devo restringere l'intervallo in cui è compreso t? cosa vuol dire orientato con le t crescenti?
Risposte
Che significa che una funzione è crescente?
No, che significa che devo calcolare l'integrale lungo la curva orientata con le t crescenti...
Devo restringere l'intervallo di t?
Devo restringere l'intervallo di t?
Ma io ti faccio una domanda e tu non rispondi? Guarda che non ti ho chiesto quella cosa per passatempo....
scusa non avevo capito, comunque una funzione crescente è una funzione che va verso l'alto, in questo caso al variare di x'y la f(x,y) cresce...però io volevo capire cosa vuol dire orientata con le t crescenti..devo considerare solo le t che fanno crescere la funzione?
Definizione un po' rozza, ma comunque.... ora, la funzione $t$ quando è crescente? Quando aumenta, no? Per cui se percorri la circonferenza con i valori di $t$ che aumentano, in che senso la percorrerai?
scusa ma hovist adesso la risposta...comunque la percorro in senso antiorario! allora vuol dire che orientata con le t crescenti significa calcolare l'integrale percorrendo la curva in senso antiorario? quindi basta mettere negli estremi di integrazione in basso 0 e in alto pi-greco?
Esatto.
ok, però non torna... l'integrale sarebbe (e^tcos(t)+e^tsen(t))*(sqrt2e^t) integrato tra 0 e pi-greco?
(dove sqrt2e^t è la norma della derivata della curva)
(dove sqrt2e^t è la norma della derivata della curva)
La norma della tangente è $e^t$:
$\sqrt{\dot{x}(t)^2+\dot{y}(t)^2}=\sqrt{e^{2t}\sin^2 t+e^{2t}\cos^2 t}=e^t$
Ma in ogni caso, non vedo a cosa ti serva: tu devi andare semplicemente a sostituire $x=e^2\cos t,\ y=e^t\sin t$ in $x\ dy+y\ dx$. L'integrale curvilineo è di prima specie, non di seconda (o se vuoi, è l'integrale di una forma differenziale).
$\sqrt{\dot{x}(t)^2+\dot{y}(t)^2}=\sqrt{e^{2t}\sin^2 t+e^{2t}\cos^2 t}=e^t$
Ma in ogni caso, non vedo a cosa ti serva: tu devi andare semplicemente a sostituire $x=e^2\cos t,\ y=e^t\sin t$ in $x\ dy+y\ dx$. L'integrale curvilineo è di prima specie, non di seconda (o se vuoi, è l'integrale di una forma differenziale).
io sapevo che l'integrale di una funzione calcolato su una curva data è dato dall'integrale (calcolato tra gli estremi della curva) della funzione parametrizzata dalla curva(e fin qui ci siamo) moltiplicato la norma della derivata prima della curva. no?
Quello se l'integrale che devi calcolare è il seguente:
$I=\int_\gamma F(x,y)\ ds$
dove $F$ è una funzione e $ds$ l'elemento di lunghezza. In tal caso si ha
$I=\int_a^b F(x(t),y(t))\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}\ dt$
ed è quello che si chiama integrale di linea di prima specie.
Ma se integri una cosa del genere $\omega=f(x,y)\ dx+g(x,y)\ dy$ che è una 1-forma, si ha
$\int_\gamma \omega=\int_a^b[f(x(t),y(t))\ \dot{x}+g(x(t),y(t))\ \dot{y}]\ dt$
che è quello che si chiama integrale di linea di seconda specie.
Sono certo che l'abbiate studiato, ma forse al momento ti sfugge.
$I=\int_\gamma F(x,y)\ ds$
dove $F$ è una funzione e $ds$ l'elemento di lunghezza. In tal caso si ha
$I=\int_a^b F(x(t),y(t))\sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2}\ dt$
ed è quello che si chiama integrale di linea di prima specie.
Ma se integri una cosa del genere $\omega=f(x,y)\ dx+g(x,y)\ dy$ che è una 1-forma, si ha
$\int_\gamma \omega=\int_a^b[f(x(t),y(t))\ \dot{x}+g(x(t),y(t))\ \dot{y}]\ dt$
che è quello che si chiama integrale di linea di seconda specie.
Sono certo che l'abbiate studiato, ma forse al momento ti sfugge.
a si si, sarebbe l'integrale di linea applicato per i campi vettoriali..si ora mi torna!quello che non avevo capito allora non era cosa vuol dire orientato con le t crescenti, continuavo ad applicare l'integrale di prima specie quando invece in questo caso dovevo usare quello di seconda specie! grazie mille!
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