Integrale di lebesgue (nuovo dubbio)

[qwertyuio1]

Appurato che il prodotto di 2 funzioni integrabili non è necessariamente integrabile, avrei comunque bisogno di un risultato simile per andare avanti nella dim di un teorema:

f,g integrabili , fg limitata --> fg integrabile ?
f,g integrabili , g limitata --> fg integrabile ?

Una di queste due è vera?
Per integrabile intendo sempre secondo lebesgue.

[dissonance]

La seconda è immediata se supponi che $f$ sia sommabile. Ti è sufficiente?

[edit] E' la $f$ che deve essere sommabile, non la $g$.

[qwertyuio1]

sì posso supporre g sommabile e limitata, mentre f è solo integrabile (nel mio caso è 1/x)
Hai una dimostrazione efficace con queste ipotesi?

[gugo82]

Basta tenere presente che $(fg)^+ =f^+ g^+ + f^(-) g^(-)$ e $(fg)^(-) = f^(-) g^+ +f^+ g^(-)$, o sbaglio?

[qwertyuio1]

ma poi come procedi? dovrei dimostrare che i vari prodotti che compaiono sono integrabili (cioè, visto che sono non negativi, che hanno integrale superiore e inferiore uguali), no? io però non riesco a concludere niente.

[dissonance]

Però quando parli di integrale di Lebesgue ha sempre senso integrare le funzioni misurabili positive. Nel tuo caso $f, g$ sono misurabili (in effetti sono molto di più) e quindi anche $f^+, f^-, g^+, g^-$ sono misurabili.

Resta da mostrare che gli integrali dei vari prodotti sono finiti, il che è facile se $f$ è sommabile (ti chiedo scusa, prima ho sbagliato a scrivere - è la $f$ che deve essere sommabile):
$int {f^+g^-} <="sup"{|g|}intf^+
Tu però vuoi che sia $f$ solo integrabile e $g$ limitata... Ripensandoci su non sono troppo convinto che sia vero.

[dissonance]

Un altro caso facile:

$f$ integrabile;
$g$ limitata, positiva, misurabile.
Allora $fg$ è integrabile.

Infatti $fg=(f^+ - f^(-))g$ da cui $(fg)^+=f^(+) g;\ (fg)^(-) =f^(-) g$. E risulta $int(fg)^+ <="sup"|g|intf^(+)$, $int(fg)^(-) <="sup"|g|intf^(-)$ e almeno uno tra questi due deve essere finito perché $"sup"|g|

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[gugo82]

Osservazione a margine.
In effetti di solito non si usano mai le funzioni integrabili nel senso in cui le pensa qwertyuio; per evitare queste situazioni spiacevoli si tende a operare sempre con le funzioni sommabili (o $L^1$ che dir si voglia) e ad usare i termini "integrabile" e "sommabile" come sinonimi.

[qwertyuio1]

Esattamente nel mio caso $f=1/x$ mentre tutto ciò che so di g è che è sommabile e limitata.

Penso di essere riuscito a dimostrare che:
f,g misurabili , f$>=$0 , g limitata inferiormente --> f,g integrabili.

Infatti se g è limitata inferiormente esiste c>0 tale che $g+c>=0$, allora:
$fg=f*(g+c)-c*f$
Tutti gli addendi sono misurabili (il prodotto di funzioni misurabili è misurabile) e non negativi, quindi integrabili. Quindi fg è integrabile.

Ora tornando alle mie funzioni:
-1/x è misurabile (è continua) e non negativa su (0,1)
-g sommabile, quindi misurabile (g sommabile --> $g^+ , g^-$ sommabili (e non negative) --> $g^+ , g^-$ misurabili --> $g=g^+ - g^-$ misurabile), e inferiormente limitata.
Dunque dovrei riuscire a concludere che fg è integrabile su (0,1). Giusto?


[Corretto perché la dim non funzionava per f misurabile e inferiormente limitata]

[dissonance]

Mi pare giusto. Ma a te serve integrare solo su un dominio di misura finita?

[qwertyuio1]

Sì sì, in questo caso mi interessa integrare sull'intervallo (0,1).

[bernardo2]

Se il dominio di integrazioni non è limitato (se ha misura infinita) non è detto che siano vere le tue supposizioni, però se il tuo dominio è (0,1)
fg è misurabile perchè prodotto di funzioni misurabili (poichè sono integrabili secondo la definizione generale di lebesgue, quindi f e g sono misurabili)
ed inoltre se fg è limitata è sommabile su (0,1) poichè l integrale di modulo di fg è minore di una costante M per la misura di (0,1) che è 1.
La seconda invece non è vero, in quanto puoi trovare f integrabile su (0,1) e g limitata e sommabile su (0,1) ma tali che f*g non sia integrabile su (0,1),
ovvero tali che (fg)+ ha integrale infinito ed anche (fg)- in questo caso ovviamente fg non sarà limitata anche se lo è g