Integrale di Lebesgue complesso

[Riccardo Desimini]

Ciao a tutti,
vorrei capire il senso di un integrale di Lebesgue complesso, nel senso che io conosco l'integrale di Lebesgue scritto così
\[ \int_{\mathbb{R}} f(x)\, \text{d}x \]
dove \( f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \).

Insomma, se io mi trovo davanti a un integrale di Lebesgue come questo
\[ \int_{\mathbb{R}} f(x) e^{-2\pi i \lambda t}\, \text{d}t \]
che senso devo dare a questa scrittura?

[Seneca1]

Forse è \[ \int_{\mathbb{R}} f(t) e^{-2\pi i \lambda t}\, \text{d}t \] ?
Se $\lambda$ è reale e $f : RR -> RR$, il senso dovrebbe essere questo
\[ \int_{\mathbb{R}} f(t) \cos(-2 \pi \lambda t) \, \text{d}t + i \int_{\mathbb{R}} f(t) \sin(-2 \pi \lambda t) \, \text{d}t \]
Quindi hai due integrali reali da calcolare.

[Riccardo Desimini]

"Seneca":Forse è \[ \int_{\mathbb{R}} f(t) e^{-2\pi i \lambda t}\, \text{d}t \] ?

Sì.

"Seneca":Se $\lambda$ è reale e $f : RR -> RR$, il senso dovrebbe essere questo
\[ \int_{\mathbb{R}} f(t) \cos(-2 \pi \lambda t) \, \text{d}t + i \int_{\mathbb{R}} f(t) \sin(-2 \pi \lambda t) \, \text{d}t \]
Quindi hai due integrali reali da calcolare.

Dal punto di vista operativo mi è chiaro, quel che non ho capito è che cos'è un integrale di Lebesgue complesso. Per caso quella che hai scritto è proprio la definizione di integrale di Lebesgue complesso? Cioè è quel numero complesso che si ottiene tramite il calcolo di due integrali di Lebesgue reali?

[Seneca1]

La definzione dovresti tirarla fuori tu. Da quel che scrivi, comunque, suppongo che per integrale di Lebesgue complesso si intenda l'integrale di una funzione complessa di Lebesgue variabile reale, qual è $f(x) e^(- 2 pi i \lambda x)$.

Poiché una funzione $g : RR -> CC$ si può sempre, in via teorica, scrivere come $g(x) = a(x) + i b(x)$, l'integrale di $g$ su $RR$ sarà un numero complesso dato da
\[ \int_{\mathbb{R}} a(x) dx + i \int_{\mathbb{R}} b(x) dx \]