Integrale di Lebesgue

[qwertyuio1]

Ciao a tutti, mi chiedevo: il prodotto di 2 funzioni integrabili secondo lebesgue è integrabile secondo lebesgue?

[dissonance]

Dipende da cosa intendi per "integrabile". Comunque in generale la risposta è no e un classico controesempio è la funzione $1/(sqrt(x))$ nell'intervallo $(0, 1)$. Moltiplicala per se stessa e vedi che succede.

[qwertyuio1]

Per integrabile (secondo lebesgue) intendo che $f^+$ e $f^-$ sono integrabili (cioè hanno integrale superiore uguale all'integrale inferiore) e almeno una delle due ha integrale finito.
Dunque non richiedo che f abbia integrale finito.
Quindi $1/x$ è integrabile su (0,1) (perché è misurabile) e il suo integrale sara $+\infty$

[dissonance]

Poco male, basta ritoccare un po' il controesempio: considera $1/(sqrt(|x|))$ nell'intervallo $(-1, 1)$.

[qwertyuio1]

Scusa ma non è uguale a prima? (Per chiarezza: $f^+=max(f,0)$ , $f^{-}=max(-f,0)$)

[dissonance]

Dopo cinquanta tentativi penso di esserci riuscito:
prendiamo $1/sqrt(|x|)$ e ${(1/sqrt(x), x>0), (-1/sqrt(-x), x<0):}$. Tutte e due integrabili in $(-1, 1)$, ne formiamo il prodotto e salta fuori $1/x$. Sperando di non aver sbagliato ancora!

[qwertyuio1]

Ok, dovrei aver trovato un controesempio:
$f(x)=1/\sqrt(x), se 0 $g(x)=1/\sqrt(|x|)$
f e g sono integrabili su (-1,1) (sono addirittura sommabili) , mentre
$f(x)*g(x)=1/x$
non è integrabile su (-1,1) perché $f^+$ e $f^-$ hanno entrambi integrale infinito.

[qwertyuio1]

Sì esatto! Lo stavo pensando anch'io. Grazie mille!

[gugo82]

"qwertyuio":$g(x)=1/\sqrt(x)$
[...] $g$ è integrabile su $(-1,1)$ (è addirittura sommabile) [...]

Sul fatto che $g$ sia integrabile in $]-1,1[$ ho ben fondati dubbi...

[qwertyuio1]

intendevo $1/\sqrt(|x|)$