Integrale di Lebesgue
Salve a tutti!
Oggi, studiando matematica in compagnia di alcuni compagni di corso, mi son sentito porre la domanda "Sapresti farmi un esempio di funzione integrabile secondo Lebesgue ma non secondo Riemann ed un esempio di funzione integrabile secondo Riemann ma non secondo Lebesgue?"
Alla prima parte della domanda si risponde senza problemi, il dubbio mi è sorto sulla seconda parte: ho sempre considerato vero, finora che "se una funzione è integrabile secondo Riemann, allora lo è anche secondo Lebesgue"; tuttavia ho pensato alla funzione
$f:\RR\to\RR\quad x\to\frac{sin(x)}{x}$
che è semplicemente integrabile in senso improprio secondo Riemann su $\RR$, ma non assolutamente integrabile secondo Riemann...questo porta a "problemi" nel considerare l'integrale di Lebesgue di tale funzione?
Spero di aver posto la domanda in maniera corretta e di non aver scritto strafalcioni assurdi ^_^
Oggi, studiando matematica in compagnia di alcuni compagni di corso, mi son sentito porre la domanda "Sapresti farmi un esempio di funzione integrabile secondo Lebesgue ma non secondo Riemann ed un esempio di funzione integrabile secondo Riemann ma non secondo Lebesgue?"
Alla prima parte della domanda si risponde senza problemi, il dubbio mi è sorto sulla seconda parte: ho sempre considerato vero, finora che "se una funzione è integrabile secondo Riemann, allora lo è anche secondo Lebesgue"; tuttavia ho pensato alla funzione
$f:\RR\to\RR\quad x\to\frac{sin(x)}{x}$
che è semplicemente integrabile in senso improprio secondo Riemann su $\RR$, ma non assolutamente integrabile secondo Riemann...questo porta a "problemi" nel considerare l'integrale di Lebesgue di tale funzione?
Spero di aver posto la domanda in maniera corretta e di non aver scritto strafalcioni assurdi ^_^
Risposte
Direi che hai centrato il punto.
L'integrale improprio di una funzione integrabile ma non assolutamente integrabile darebbe problemi poi dal punto di vista dell'uso disinvolto (e così comodo) della sigma additività.
L'integrale improprio di una funzione integrabile ma non assolutamente integrabile darebbe problemi poi dal punto di vista dell'uso disinvolto (e così comodo) della sigma additività.
Grazie mille per la delucidazione! 
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