Integrale di lebesgue
ciao . ho un dubbio sulla teoria di integrazione di lebesgue : credo di aver ben capito il concetto di misura di un insieme ,
ma quando si arriva alla definizione di funzione misurabile e integrale di una funzione misurabile mi perdo.
il significato geometrico di integrale secondo Riennman e molto chiaro e intuitivo ; con lebesgue invece non mi è chiaro.
il web parla di suddividere la funzione integranda f in curve di livello e sommare i valori x che la funzione assume in corrispondenza di questi f(x) ( in modo simmetrico alle somme di riennman) , tuttavia non trovo una definizione di
integrale di funzione misurabile che rispecchi tutto questo
qualcuno può aiutarmi?
capisco che le teoria dell integrazione secondo riennman si applica a una classe ristretta di funzioni e che
con lebesgue si è ampliato tutto ciò , ma qual è il vero vantaggio della nuova teoria secondo lebesgue rispetto a riennman?
grazie
ma quando si arriva alla definizione di funzione misurabile e integrale di una funzione misurabile mi perdo.
il significato geometrico di integrale secondo Riennman e molto chiaro e intuitivo ; con lebesgue invece non mi è chiaro.
il web parla di suddividere la funzione integranda f in curve di livello e sommare i valori x che la funzione assume in corrispondenza di questi f(x) ( in modo simmetrico alle somme di riennman) , tuttavia non trovo una definizione di
integrale di funzione misurabile che rispecchi tutto questo
qualcuno può aiutarmi?
capisco che le teoria dell integrazione secondo riennman si applica a una classe ristretta di funzioni e che
con lebesgue si è ampliato tutto ciò , ma qual è il vero vantaggio della nuova teoria secondo lebesgue rispetto a riennman?
grazie
Risposte
I vantaggi dell'integrale di Lebesgue sono molti. Innanzitutto con l'integrale di Lebesgue si possono integrare molte più funzioni (l'esempio classico che si fa è la funzione caratteristica dei razionali). Inoltre con l'integrale di Lebesgue i passaggi al limite sotto il segno di integrale richiedono condizioni molto più deboli sull'integranda rispetto all'integrale di Riemann, vedi Teorema della Convergenza Monotona, Teorema della Convergenza Dominata e Lemma di Fatou. (In più un mio professore dice che l'integrale di Lebesgue è stato inventato soprattuto per la Disuguaglianza di Sobolev e tutte quelle robe là, ma non sono sicuro che fosse serio 
)
)
ciao . capisco ciò che hai scritto , ma qual'è il significato geometrico dell integrale di lebesgue ? e perchè nel web
si parla di suddividere il codominio della funzione f in piccoli intervalli , come si faceva con Riennman nel dominio della
funzione ?
qualcuno ha del materiale online di facile lettura da consigliarmi (da integrare con quanto fatto all università) ?
grazie
si parla di suddividere il codominio della funzione f in piccoli intervalli , come si faceva con Riennman nel dominio della
funzione ?
qualcuno ha del materiale online di facile lettura da consigliarmi (da integrare con quanto fatto all università) ?
grazie
Beh il siginificato geometrico dell'integrale di Lebesgue è lo stesso di quello di Riemann, cioè calcoli l'area sotto il grafico di una funzione. Il fatto che partizioni il codominio, piuttosto che il dominio, viene da come è definito l'integrale di Lebesgue: cioè prima per le funzioni semplici, poi, "tramite un passaggio al limite", per le funzioni misurabili positive e infine per le funzioni misurabili di qualsiasi segno (sfruttando la parte positiva e la parte negativa). Comunque uno dei libri migliori (o forse il migliore?) dire che è quello di Folland.
Che l'integrale di Lebesgue di una funzione (reale di variabile reale) misurabile positiva sia la misura del rettangoloide subordinato al grafico si vede in modo semplice usando il teorema di Fubini.
Infatti, presa \(u:X\to [0,\infty]\) misurabile su \(X\subseteq \mathbb{R}\) misurabile, si ha:
\[
u(x)=\int_0^{u(x)} 1\ \text{d} y
\]
per \(x\in X\), quindi:
\[
\begin{split}
\intop_X u(x)\ \text{d} x &= \intop_X \left( \int_0^{u(x)} 1\ \text{d} y\right) \text{d} x\\
&\stackrel{\text{Fubini}}{=} \intop_X \int_0^{u(x)} 1\ \text{d} x \text{d} y\\
&= \iint_{\mathbb{R}^2} \chi_{R}(x,y)\ \text{d} x\text{d} y
\end{split}
\]
in cui \(\chi_R(x,y)\) è la funzione caratteristica del rettangoloide:
\[
R:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ x\in X \text{ e } y\in [0,u(x)]\}
\]
subordinato al grafico di \(u\). Ma è noto che se \(u\) è misurabile allora \(R\subseteq \mathbb{R}^2\) è un insieme misurabile e che vale l'uguaglianza:
\[
\mathcal{L}^2(R) = \iint_{\mathbb{R}^2} \chi_{R}(x,y)\ \text{d} x\text{d} y\; ,
\]
(in cui \(\mathcal{L}^2(\cdot)\) è la misura di Lebesgue in \(\mathbb{R}^2\)) cosicché:
\[
\intop_X u(x)\ \text{d} x = \mathcal{L}^2(R)\; .
\]
Infatti, presa \(u:X\to [0,\infty]\) misurabile su \(X\subseteq \mathbb{R}\) misurabile, si ha:
\[
u(x)=\int_0^{u(x)} 1\ \text{d} y
\]
per \(x\in X\), quindi:
\[
\begin{split}
\intop_X u(x)\ \text{d} x &= \intop_X \left( \int_0^{u(x)} 1\ \text{d} y\right) \text{d} x\\
&\stackrel{\text{Fubini}}{=} \intop_X \int_0^{u(x)} 1\ \text{d} x \text{d} y\\
&= \iint_{\mathbb{R}^2} \chi_{R}(x,y)\ \text{d} x\text{d} y
\end{split}
\]
in cui \(\chi_R(x,y)\) è la funzione caratteristica del rettangoloide:
\[
R:=\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:\ x\in X \text{ e } y\in [0,u(x)]\}
\]
subordinato al grafico di \(u\). Ma è noto che se \(u\) è misurabile allora \(R\subseteq \mathbb{R}^2\) è un insieme misurabile e che vale l'uguaglianza:
\[
\mathcal{L}^2(R) = \iint_{\mathbb{R}^2} \chi_{R}(x,y)\ \text{d} x\text{d} y\; ,
\]
(in cui \(\mathcal{L}^2(\cdot)\) è la misura di Lebesgue in \(\mathbb{R}^2\)) cosicché:
\[
\intop_X u(x)\ \text{d} x = \mathcal{L}^2(R)\; .
\]
perchè nel web si parla di suddividere il codominio della funzione f in piccoli intervalli , come si faceva con Riennman nel dominio della
funzione ?
qualcuno ha del materiale online di facile lettura da consigliarmi (da integrare con quanto fatto all università) ?
grazie[/quote]
Come ti ha accennato Rainbow, la suddivisine del codominio, piuttosto che del dominio, deriva dalla definizione dell'integrale di Lesbesgue tramite le funzioni semplici. Le funzioni semplici svolgono nell'integrale di Lesbegue un ruolo analogo alle funzioni 'a scalino' nell'intregrale di Riemann. Tuttavia per chi si avvicina per la prima volta all'integrale di Lesbegue non è ovvio perché il parlare di funzioni semplici equivale a parlare di partizioni del codominio, anche se poi è una cosa evidente per chi l'ha già studiato. La prima cosa da tenere presente è che mentre in Riemann si parla di intervalli (limitati), su cui è definita la funzione da integrare, in Lebesgue abbiamo come dominio più generali insiemi misurabili, e quindi non è che si possono fare partizioni del dominio (dell'intervallo) come in Riemann.
Forse hai gia risolto, altrimenti se ne può riparlare qui sul forum.
Non so quali testi usi all'università. Oltre a Folland, già consigliato da Rainbow, un riferimento standard è Royden- 'Real Analysis'. Ma se vogliamo volare più basso, ma in maniera molto utile, io ti consiglierei di dare uno sguardo allo Schaum's outline, Spiegel 'Real variables'. Non è alta teoria, ne' pretende di esserlo, come tutti gli Schaum's sono libri di esercizi e problemi svolti, ma preziosi per questo e per la semplicità dell'esposizione. Lì trovi questa cosa della partizione del codominio e molte altre cose utili. Dovresti trovarlo nella biblioteca dell'università, purtroppo non è in commercio, o meglio, ce n'è uno su Amazon, costa solo 900 euro (sic!), incredibile ma vero.
funzione ?
qualcuno ha del materiale online di facile lettura da consigliarmi (da integrare con quanto fatto all università) ?
grazie[/quote]
Come ti ha accennato Rainbow, la suddivisine del codominio, piuttosto che del dominio, deriva dalla definizione dell'integrale di Lesbesgue tramite le funzioni semplici. Le funzioni semplici svolgono nell'integrale di Lesbegue un ruolo analogo alle funzioni 'a scalino' nell'intregrale di Riemann. Tuttavia per chi si avvicina per la prima volta all'integrale di Lesbegue non è ovvio perché il parlare di funzioni semplici equivale a parlare di partizioni del codominio, anche se poi è una cosa evidente per chi l'ha già studiato. La prima cosa da tenere presente è che mentre in Riemann si parla di intervalli (limitati), su cui è definita la funzione da integrare, in Lebesgue abbiamo come dominio più generali insiemi misurabili, e quindi non è che si possono fare partizioni del dominio (dell'intervallo) come in Riemann.
Forse hai gia risolto, altrimenti se ne può riparlare qui sul forum.
Non so quali testi usi all'università. Oltre a Folland, già consigliato da Rainbow, un riferimento standard è Royden- 'Real Analysis'. Ma se vogliamo volare più basso, ma in maniera molto utile, io ti consiglierei di dare uno sguardo allo Schaum's outline, Spiegel 'Real variables'. Non è alta teoria, ne' pretende di esserlo, come tutti gli Schaum's sono libri di esercizi e problemi svolti, ma preziosi per questo e per la semplicità dell'esposizione. Lì trovi questa cosa della partizione del codominio e molte altre cose utili. Dovresti trovarlo nella biblioteca dell'università, purtroppo non è in commercio, o meglio, ce n'è uno su Amazon, costa solo 900 euro (sic!), incredibile ma vero.
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