Integrale di Lebesgue

[Chiara914]

Ho da calcolare il seguente l'integrale della seguente funzione: $\frac{sin(z)}{(x^{2}+y^{2}+cos^{2}(z))^{3}}$ sul seguente insieme $A={(x,y,z) | x^{2}+y^{2} \geq 1 , z €[-pi/2,pi/2]}$
Dopo aver verificato che la funzione è sommabile ho usato le coordinate cilindriche e ho applicato il teorema di riduzione.Giungo a questo punto:
$2pi \int_{1}^{infty} \int_{-pi/2}^{pi/2} \frac{sin(t)}{(\rho^{2}+cos^{2}(t))^{3}}\dt \,d\rho$
da qui non so però come andare avanti per risolvere questo integrale.
Grazie mille in anticipo a chi mi darà una mano

[Lory314]

Osservo solo che manca il modulo dello Jacobiano della trasformazione. Per ora però non ho idee di come farlo.

[Chiara914]

Sì,scusa hai ragione.Ma anche in quel caso non saprei come procedere

[Lory314]

"Chiara91":Sì,scusa hai ragione.

Non devi scusarti con me !

BTW, l'integrale da risolvere è:

$ 2pi \int_{1}^{infty} \int_{-pi/2}^{pi/2} \rho \frac{sin(t)}{(\rho^{2}+cos^{2}(t))^{3}}\dt d\rho $. Indichiamo con $f_\rho(t)$ l'integranda vista come funzione della sola $t$ e consideriamo $rho$ come parametro.

Osserva che:
$f_rho(-t) = \frac{\rho\sin(-t)}{(\rho^2+cos(-t)^2)^3} = \frac{-\rho\sin(t)}{(\rho^2+cos(t)^2)^3} = f_rho(t)$. Quindi $f_\rho(t)$ è dispari e viene integrata su un intervallo simmetrico rispetto all'origine.

Quindi:

$ 2pi \int_{1}^{infty} \int_{-pi/2}^{pi/2} \rho \frac{sin(t)}{(\rho^{2}+cos^{2}(t))^{3}}\dt d\rho = 2pi \int_{1}^{infty} 0 d\rho = 0$.

Cosa ne pensi?

[Chiara914]

lo 0 vien fuori per la simmetria dell'integranda rispetto all'origine,ho capito bene? Grazie mille,non credo che da sola avrei mai avuto questa idea! Stavo cercando di trovare delle primitive ma non riuscivo a venirne fuori...
Aggiungo:se avessi voluto calcolare l'integrale rispetto a t "esplicitamente"(cioè magari con qualche sostituzione o altro) sarebbe stata un'impresa impossibile?

[Lory314]

"Chiara91":lo 0 vien fuori per la simmetria dell'integranda rispetto all'origine,ho capito bene?

Si.

"Chiara91":
Grazie mille,non credo che da sola avrei mai avuto questa idea!

Fare esercizi serve anche a questo. Imparare/Ricordare strade da ripercorrere in altri contesti.

"Chiara91":
Stavo cercando di trovare delle primitive ma non riuscivo a venirne fuori...
Aggiungo:se avessi voluto calcolare l'integrale rispetto a t "esplicitamente"(cioè magari con qualche sostituzione o altro) sarebbe stata un'impresa impossibile?

Non ti nascondo che anche questo è stato il mio primo tentativo, ma non riuscendo a venirne fuori ho cercato di pensare ad altro.