Integrale di lebesgue
Salve a tutta la community!
Stavo studiando l'integrale di Lebesgue e mi sono imbattuto in questo esercizio.
Calcolare $\lim_{n \to \infty} int_0^1nsin x/(1+n^2x^3)dx$.
Ho osservato abbastanza banalmente che la funzione è misurabile secondo Lebesgue, quindi sulla definizione dell'integrale non vi è alcun problema. Inoltre si osserva facilmente che quella funzione è integrabile secondo Riemann perchè è continua e limitata in $[0,1]$, quindi vi è l'uguaglianza tra integrale di Riemann e di Lebesgue.
Non mi raccapezzo, però, su come calcolare tale limite. Avrei voluto utilizzare il teorema della convergenza monotona ma non mi sembra che la successione di funzioni sia crescente. Inoltre non riesco a utilizzare il teorema della convergenza dominata perché non riesco a trovare una funzione g integrabile secondo Lebesgue tale che $|f_n|
Grazie in anticipo.
Stavo studiando l'integrale di Lebesgue e mi sono imbattuto in questo esercizio.
Calcolare $\lim_{n \to \infty} int_0^1nsin x/(1+n^2x^3)dx$.
Ho osservato abbastanza banalmente che la funzione è misurabile secondo Lebesgue, quindi sulla definizione dell'integrale non vi è alcun problema. Inoltre si osserva facilmente che quella funzione è integrabile secondo Riemann perchè è continua e limitata in $[0,1]$, quindi vi è l'uguaglianza tra integrale di Riemann e di Lebesgue.
Non mi raccapezzo, però, su come calcolare tale limite. Avrei voluto utilizzare il teorema della convergenza monotona ma non mi sembra che la successione di funzioni sia crescente. Inoltre non riesco a utilizzare il teorema della convergenza dominata perché non riesco a trovare una funzione g integrabile secondo Lebesgue tale che $|f_n|
Grazie in anticipo.
Risposte
Prova a considerare che e'...
$int_{0}^{1} \frac{\sin x}{1+n^{2}\ x^{3}}\ dx < int_{0}^{1} \frac{x}{1+n^{2}\ x^{3}}\ dx$
Cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
$int_{0}^{1} \frac{\sin x}{1+n^{2}\ x^{3}}\ dx < int_{0}^{1} \frac{x}{1+n^{2}\ x^{3}}\ dx$
Cordiali saluti
$\chi$ $\sigma$
Ho risolto in questo modo. Considero $(1-nx^(3/2))^2=1+n^2x^3-2nx^(3/2)$
Da ciò $1+n^2x^3>=2nx^(3/2)$.
Considero la seguente catena di disuguaglianze: $nsin x/(1+n^2x^3)<=nsin x/(2nx^(3/2))<=x/(2x^(3/2))=1/(2x^(1/2))$
Tale ultimo è integrabile secondo lebesgue in $[0,1]$ perciò posso utilizzare il teorema della convergenza dominata.
Da ciò risulta che posso passare il limite sotto il segno dell''integrale e ottengo come risultato $0$.
Da ciò $1+n^2x^3>=2nx^(3/2)$.
Considero la seguente catena di disuguaglianze: $nsin x/(1+n^2x^3)<=nsin x/(2nx^(3/2))<=x/(2x^(3/2))=1/(2x^(1/2))$
Tale ultimo è integrabile secondo lebesgue in $[0,1]$ perciò posso utilizzare il teorema della convergenza dominata.
Da ciò risulta che posso passare il limite sotto il segno dell''integrale e ottengo come risultato $0$.
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